Примеры решения задач по теме: «Векторная алгебра»

Задача 1. Разложить вектор по векторам

Решение. Разложить вектор по векторам – значит представить его в виде

(1)

где - неизвестные пока числа. Переходя в равенстве (1) к координатам векторов, получим

Как известно у равных векторов равны соответствующие координаты,

(2)

Решив систему (2), найдём . Следовательно, .

Задача 2. Найти вектор коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .

Решение. В силу коллинеарности векторов и вектор можно представить в виде где – пока неизвестный множитель. Для его определения используем второе условие:

.

Отсюда , поэтому .

Задача 3. Найти вектор , перпендикулярный векторам и и образующий с осью Ох тупой угол, если .

Решение. Найдём вектор .

Так как перпендикулярен векторам и , то он коллинеарен вектору . Следовательно, .

По условию т.е. или . Вектор образует тупой угол с осью Ох, поэтому его проекция на эту ось должна быть отрицательной, отсюда и .

Поверхности в пространстве. 2

Плоскость. 2

Неполные уравнения плоскости. 4

Уравнение плоскости в «отрезках». 4

Угол между плоскостями. 5

Уравнение плоскости, проходящей через три точки, не принадлежащие одной прямой. 6

Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости. 7

Расстояние от точки до плоскости. 8

Приведение общего уравнения плоскости к нормальному виду. 9

Примеры задач на тему «Плоскость». 9

Поверхности в пространстве

Пусть – переменные.

Выражение называется уравнением, если оно выполняется не для любых значений .

Уравнению поверхности удовлетворяют только точки поверхности и никакие другие точки пространства.

Определение. Поверхность – это геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют данному уравнению .

Пример: уравнение задает сферу с центром в точке (), радиусом .

Алгебраические поверхности определяются в декартовой системе координат алгебраическими уравнениями вида:

Уравнение – общее уравнение первой степени.