Выражение смешанного произведения через координаты векторов

Теорема 3. Пусть векторы имеют в ортонормированном базисе координаты . Тогда смешанное произведение этих векторов можно представить в виде

.

Доказательство. .

По теореме о векторном произведении:

.

Умножим векторное произведение скалярно на вектор :

.

По следствию 2 необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю определителя, составленного из координат векторов:

компланарны.

Пример 3. Даны четыре точки: . Найти объем тетраэдра АВСD.

Решение. Объем тетраэдра равен одной шестой объема параллелепипеда с теми же основанием и высотой:

.

Координаты векторов .

По теореме 3

.