Линейные операции над векторами

Векторная алгебра

Пример 1. Дана точка пересечения диагоналей параллелограмма и векторы , . Выразить через и векторы .

Решение. В соответствии с определением суммы и разности векторов имеем (рис. 3.1).

, . Исходя из свойства диагоналей параллелограмма и определения произведения вектора на число, находим

; ;

; .

Пример 2. Два ненулевых вектора и таковы, что . Доказать, что векторы и перпендикулярны.

Решение. Построим на векторах и параллелограмм (рис. 3.1). Тогда , .

Равенство означает, что длины диагоналей параллелограмма равны, то есть . Значит, данный параллелограмм есть прямоугольник. Следовательно, векторы и перпендикулярны.

Пример 3. На стороне треугольника расположена точка так, что (рис. 3.2). Разложить вектор по векторам и .

B1 O	Решение. Для геометрического решения задачи достаточно из конца вектора провести прямые, параллельные векторам и . В полученном параллелограмме , и , т.е. , однако коэффициенты этого разложения геометрическим способом определяются лишь приближенно. Решим задачу аналитическим методом.

Векторы и коллинеарны и одинаково направлены.

По условию , значит .

Так как и , то . Значит , .

Если , то точка является серединой стороны , а - медианой треугольника. В этом случае

.

Пример 4. Дана треугольная призма (рис. 3.3). Разложить вектор по векторам , и .

Решение. Согласно правилу треугольника сложения векторов имеем

,

,

.

Складывая левые и правые части этих векторных равенств, получаем:

.

Так как

,

, то ,

.

Пример 5. В прямоугольнике (рис. 3.4) , ,

- точка пересечения диагоналей. Найдите .

Решение. , .

Значит, .

Найдем .

Пример 6. Векторы и неколлинеарны. Найти, при каком векторы и будут коллинеарны.

Решение. Вектор ненулевой, следовательно, существует такое число , что

или .

Откуда .

Векторы и неколлинеарны, поэтому

Решая эту систему, находим , .

При , . Значит, .