Запишем основные виды уравнений прямой на плоскости.
1. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному ненулевому вектору
: . Вектор называется вектором нормали (нормальным вектором) этой прямой.
2. Общее уравнение прямой: , где –нормальный вектор прямой.
3. Уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору : , где вектор –направляющий вектор, уравнение называют каноническим.
4. Параметрические уравнения прямой: где – точка, принадлежащая прямой. Параметрическое уравнение прямой в векторной форме: , где – радиус-вектор точки , а – направляющий вектор прямой.
5. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки и : . Другая запись этого уравнения: .
6. Уравнение прямой с угловым коэффициентом: , – угловой коэффициент прямой ( – угол между положительной полуосью и прямой), – ордината точки пересечения прямой с осью .
7. Уравнение прямой в отрезках: , где числа и равны величинам отрезков, отсекаемых данной прямой на осях и .
Расстояние от точки до прямой вычисляется по формуле
Если - угол между прямыми и то где стрелка означает, что получается поворотом первой прямой ко второй против часовой стрелки.
Пусть прямые и заданы своими общими уравнениями: , . Тогда:
a) и пересекаются, если и только если
b) и параллельны, если и только если
c) и совпадают, если и только если
Пусть прямые и заданы уравнениями с угловым коэффициентами: и . Тогда:
a) и перпендикулярны в том и только том случае, когда
b) и параллельны в том и только том случае, когда