Различные виды уравнения прямой

Теорема. Каждая прямая на плоскости определяется линейным уравнением первой степени с двумя неизвестными. Обратно: каждое линейное уравнение первого порядка с двумя неизвестными определяет некоторую прямую на плоскости.

Пример 4.1. Постройте прямую, заданную уравнением .

Для построения прямой достаточно знать координаты двух её произвольных точек. Полагая в уравнении прямой, например, , получим . Имеем точку . Полагая , получим . Отсюда вторая точка . Результаты вычислений можно занести в таблицу:


	-4	-2

Осталось построить точки и провести через них прямую (см. рисунок).

1. Уравнение прямой, проходящей через данную точку с заданным нормальным вектором:

, (1)

где — нормальный вектор прямой, — координаты данной точки.

Заметим, что — нормальный вектор прямой ( перпендикулярен прямой).

2. Общее уравнение прямой:

, (2)

где — постоянные коэффициенты, причём и одновременно не обращаются в нуль .

Частные случаи этого уравнения:

— прямая проходит через начало координат;

— прямая параллельна оси ;

— прямая совпадает с осью ;

— прямая совпадает с осью .

3. Уравнение прямой в отрезках:

, (3)

где и — длины отрезков (с учётом знаков), отсекаемых прямой на осях и соответственно.

Направляющим вектором прямой называется всякий ненулевой вектор, параллельный этой прямой.

4. Уравнение прямой, проходящей через данную точку с заданным направляющим вектором (каноническое уравнение прямой на плоскости):

, (4)

где — направляющий вектор прямой, — координаты данной точки.

5. Параметрические уравнения прямой:

(5)

где — направляющий вектор прямой, — координаты точки, принадлежащей данной прямой.

6. Уравнение прямой, проходящей через данную точку и с заданным угловым коэффициентом:

, (6)

где — угловой коэффициент прямой, — координаты данной точки.

7. Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид:

, (7)

где — угловой коэффициент прямой (т.е. тангенс угла , который прямая образует с положительным направлением оси ), — ордината точки пересечения прямой с осью .

8. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки и , где имеет вид:

. (8)

В случае уравнение прямой примет вид . В случае уравнение прямой: .

Пример 4.2. Напишите уравнение прямой, проходящей через точки:

а) , ; б) , .

а) Используем уравнение (8). Полагая в нём , , , , получим

-3

.

Построим эту прямую. Составим таблицу:

Ответ: — уравнение прямой.

б) Решаем аналогично: . Так как , то есть уравнение прямой (см.п.8 параграфа). Для наглядности построим точки и прямую в системе .

Ответ: — уравнение прямой.

Пример 4.3. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой .

Из уравнения прямой выпишем координаты нормального вектора: . Так как прямые параллельны, то в качестве нормального вектора для искомой прямой примем этот же вектор. Имеем, . Воспользуемся формулой (1):

— уравнение искомой прямой.

Ответ: — уравнение искомой прямой.