2015-04-12
251
1. Уравнения равновесия
Вычисляем сумму всех внешних моментов, действующих на стержень, круглого поперечного сечения и приравниваем ее к нулю
.
С учетом 
получим реактивный момент в заделке
.
2. Определение выражений крутящих моментов методом сечений и построение эпюры 
Стержень имеет два участка, на которых выражения крутящих моментов различны. Рассекаем стержень на первом и втором участках и рассматриваем в каждом из этих случаев одну из отсеченных частей (рис. 4.4 б).
| а) в) г) | 
| ||
| Рис. 4.4 |
Для первого участка (
)
,
для второго (
)
.
Строим эпюру крутящих моментов. На первом участке откладываем отрицательное постоянное значение 
. На втором участке эпюра – прямая линия. Для ее построения достаточно иметь две точки: при 
и 
. Соответствующие моменты 
и 
. Наносим на график эти точки и проводим прямую линию (рис. 4.4 в). В сечениях, где действуют сосредоточенные моменты, имеют место скачки, равные по величине значениям этих моментов. Наибольший момент возникает в сечении 
:
.
3. Контроль правильности построенной эпюры с помощью дифференциальной зависимости Д. Журавского
,
позволяющей установить следующие правила:
на незагруженном участке 
эпюра постоянна;
на равномерно загруженном участке 
эпюра − прямая линия 
, возрастающая с ростом 
, если 
, и убывающая, если 
;
в сечениях, где действует сосредоточенный момент, имеет место скачок на величину этого момента.
В нашем примере все правила контроля выполняются.
4. Расчет на прочность при кручении бруса
Условие прочности при кручении
.
Так как 
, то получаем
.
Если 
известны, то находим допустимое значение момента
.
При проектировочном расчете находим размер поперечного сечения, т.е. диаметр
.
В этом случае должны быть известны 
.
Третий тип расчета – проверочный.
5. Построение эпюры угловых перемещений 
(рис. 4.4 г)
Угловые перемещения находим по формуле
,
где 
− номер участка, 
− значение угла в начале -го участка, 
− крутящий момент на -м участке, 
− координата начала -го участка, 
− жесткость при кручении на i -м участке.
На первом участке 
(защемление).
Угол поворота
.
Эпюра – прямая линия. При 
, при 
получим 
.
На втором участке
,
или
.
График-эпюра 
− квадратичная парабола.
При получаем 
, при 
− 
.
Выпуклость параболы определяется знаком второй производной. Производные
Так как в задаче , то 
и выпуклость эпюры обращена кверху. Первая производная обращается в нуль при 
, что за пределами стержня, поэтому эпюра не имеет экстремума.
Помимо условия прочности иногда проверяется условие жесткости при кручении
,
где 
− относительный угол закручивания, 
− допускаемое значение относительного угла закручивания.
№3. Стальной консольный вал (рис. 4.5 а), имеющий участки с разными поперечными сечениями (круглое и прямоугольное), нагружен внешними крутящими моментами. Требуется: из условия прочности определить допускаемую величину крутящих моментов; построить эпюры касательных напряжений для круглого и прямоугольного поперечных сечений;
построить эпюру углов закручивания по длине вала.
Принять 
