2015-04-12
4720
Пусть событие А может произойти только совместно с одним из событий Н1, Н2,…, Нп,, называемых гипотезами и образующими полную группу несовместных событий (p(H1) +p(H2) +…+ p(Hn) = 1).
Вероятность события А, наступающего совместно с гипотезами Н1, Н2,…, Нп, равна (формула полной вероятности):
(9.1)
где p(Hi) – вероятность i- й гипотезы, а 
– вероятность события А при условии реализации этой гипотезы.
Доказательство. Можно считать событие А суммой попарно несовместных событий АН 1, АН 2,…, АНп. Тогда из теорем сложения и умножения следует, что
что и требовалось доказать.
Пример. Имеются три одинаковые урны с шарами. В первой из них 3 белых и 4 черных шара, во второй – 2 белых и 5 черных, в третьей – 10 черных шаров. Из случайно выбран-ной урны наудачу вынут шар. Найти вероятность того, что он белый.
Решение. Будем считать гипотезами Н 1, Н 2 и Н 3 выбор урны с соответствующим номером. Так как по условию задачи все гипотезы равновозможны, то
Найдем условную вероятность А при реализации каждой гипотезы: 
|
|
|
Тогда 
Пусть в результате испытания произошло событие А, которое могло наступить только
вместе с одним из событий H1, H2,…Hn, образующих полную группу событий.
Требуется найти вероятность события Hi после испытания, когда событие А имело место, т.е. pA (Hi), i = 1,2,…n. Для нахождения этих вероятностей используют формулу Байеса (формулу вероятности гипотез):
(9.2)
Действительно, 
откуда следует справедливость формулы Байеса.
Замечания.
1) Вероятности PA(H1) называются послеопытными (апостериорными) вероятностями гипотез Hi, а вероятности P(Hi) - доопытными (априорными) вероятностями гипотез Hi. Эти вероятности различаются.
2) Знаменатель в правой части формулы Байеса совпадает с правой частью формулы полной вероятностии равен P(A).
Пример. После двух выстрелов двух стрелков, вероятности попаданий которых равны 0,6 и 0,7, в мишени оказалась одна пробоина. Найти вероятность того, что попал первый стрелок.
Решение. Пусть событие А – одно попадание при двух выстрелах, а гипотезы: Н 1 – первый попал, а второй промахнулся, Н 2 – первый промахнулся, а второй попал, Н 3 – оба попали, Н 4 – оба промахнулись. Вероятности гипотез: р(Н 1) = 0,6·0,3 = 0,18, р (Н 2) = 0,4·0,7 = 0,28, р (Н 3) = 0,6·0,7 = 0,42, р (Н 4) = 0,4·0,3 = 0,12.Тогда PA(H1) = PA(H2) = 1, PA(H3) = PA(H4) = 0. Следовательно, полная вероятность р (А) = 0,18·1 + 0,28·1 + 0,42·0 + 0,12·0 = 0,46. Применяя формулу Байеса, получим:
