Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормально распределённой случайной величины при неизвестной дисперсии

Если известно, что исследуемая случайная величина Х распределена по нормальному закону с неизвестным средним квадратическим отклонением, то для поиска доверительного интервала для ее математического ожидания построим новую случайную величину

, (39.1)

где - выборочное среднее, s – исправленная дисперсия, п – объем выборки. Эта случайная величина, возможные значения которой будем обозначать t, имеет распределение Стьюдента с k = n – 1 степенями свободы.

Поскольку плотность распределения Стьюдента , где , явным образом не зависит от а и σ, можно задать вероятность ее попадания в некоторый интервал (- t_γ, t_γ), учитывая четность плотности распределения, следующим образом: . Отсюда получаем:

(39.2)

Таким образом, получен доверительный интервал для а, где t_γ можно найти по соответствующей таблице при заданных п и γ.