Задание № 4. Матричные уравнения

Решение.

Обозначим:

Тогда матричное уравнение запишется в виде: Y·A = B.

Вычислим определитель матрицы А:

∆ = 1*(1*1 - (-1)*0) - 2*(1*1 - (-1)*(-1)) + 1*(1*0 - 1*(-1)) = 2

Определитель матрицы А равен detA=2

Так как A невырожденная матрица, то существует обратная матрица A^-1. Умножим справа обе части уравнения на A^-1: X·A·A^-1 = B·A^-1, откуда находим, что X = B·A^-1

Найдем обратную матрицу A^-1.

Транспонированная матрица A^T.

Алгебраические дополнения

∆_1,1 = (1*1 - 0*(-1)) = 1

∆_1,2 = -(1*1 - (-1)*(-1)) = 0

∆_1,3 = (1*0 - (-1)*1) = 1

∆_2,1 = -(2*1 - 0*1) = -2

∆_2,2 = (1*1 - (-1)*1) = 2

∆_2,3 = -(1*0 - (-1)*2) = -2

∆_3,1 = (2*(-1) - 1*1) = -3

∆_3,2 = -(1*(-1) - 1*1) = 2

∆_3,3 = (1*1 - 1*2) = -1

Обратная матрица A^-1.

Матрицу X ищем по формуле: X = B·A^-1

Проверка:

Матрица Х

Матрица А

Вычисляем элемент новой матрицы (1,1): работаем с 1-ой строкой и с 1-м столбцом.

Получаем: (-2)*1+2*2+1*1

Вычисляем элемент новой матрицы (1,2): работаем с 1-ой строкой и с 2-м столбцом.

Получаем: (-2)*1+2*1+1*(-1)

Вычисляем элемент новой матрицы (2,1): работаем с 2-ой строкой и с 1-м столбцом.

Получаем: (-4)*1+5*2+(-2)*1

Вычисляем элемент новой матрицы (2,2): работаем с 2-ой строкой и с 2-м столбцом.

Получаем: (-4)*1+5*1+(-2)*(-1)

В итоге получаем матрицу XxA

=B – Верно.

Ответ: