Билет 6. Однородные системы ЛАУ. Свойства решений. Критерий наличия ненулевых решений

Однородной системой линейных уравнений называется система вида:

Нулевое решение системы (1) называется тривиальным решением.

Теорема Критерий существования ненулевых решений однородной системы ЛАУ. Однородные системы ЛАУ имеют ненулевое решение тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы меньше числа неизвестных.

Доказательство. Система (1) имеет ненулевое решение в том и только в том случае, когда столбцы матрицы А линейно зависимы, т.е.. ∃ числа , не все равные нулю и такие что: С другой стороны столбцы матрицы А линейно зависимы тогда и только тогда, когда Rg a < n – числа столбцов в А. ч.т.д.

Теорема. Если _↓x⁽¹⁾ и _↓x⁽²⁾решение системы (1), то любых чисел α и β линейная комбинация α_↓x⁽¹⁾ + β_↓x⁽²⁾ – решение системы (2).

Доказательство. По условию А_↓x⁽¹⁾ = 0_↓ А_↓x⁽²⁾ = 0_↓ подставим в (1) линейную комбинацию α_↓x⁽¹⁾ + β_↓x^(2): А(α_↓x⁽¹⁾ + β_↓x⁽²⁾) =А(α _↓x⁽¹⁾) + А(β_↓x⁽²⁾) = αА_↓x⁽¹⁾ + βА_↓x⁽²⁾ = 0_↓ + 0_↓ = 0_↓

Замечание. Теорема справедлива, если _↓x⁽¹⁾, _↓x⁽²⁾, …, _↓x^(k) – решение системы (2), а α₁, α₂, …, α_k – числа, т.е.. α_1↓x⁽¹⁾ +…+α_k↓x⁽²⁾ – решение системы (2).