Билет 28. Билинейные формы в действительном линейном пространстве. Симметричные и кососимметричные линейные формы, представление билинейной формы через координаты векторов

V – действительное линейное пространство.

Определение: Билинейной формой на линейном пространстве называется числовая функция F(x, y) от 2-х элементов x, y Î V, линейная по каждому аргументу (при фиксированном втором). Т. е. "x, y, z Î V и "l

1) F(x + z, y) = F(x, y) + F(z, y);

F(lx, y) = lF(x, y);

2) F(x, y + z) = F(x, y) + F(x, z);

F(x, ly) = lF(x, y).

Примеры:

1) f и g – линейные формы на V.

F(x, y) = f(x)g(y) – билинейная форма.

2) V₃ – линейное геометрическое пространство векторов "x, y Î V₃.:

F(x, y) = (x, y) = |x|*|y|*cosj - билинейная форма.

Определение: Билинейная форма F(x, y) на V называется:

1) Симметричной, если "x, y Î V: F(x, y) = F(y, x)

2) Кососимметричной, если "x, y Î V: F(x, y) = -F(y, x).

F(x, y) – билинейная форма на n-мерном линейном пространстве V_n

[e] = (e₁, e₂, …, e_n ) – базис V_n

"x, y ÎV_n:

) x = и h = ;