Теорема. L{f1, , fm} – лин. подпр-во ε→ L{f1, , fm} евклид

Пусть f₁, …, f_m лин. незав. сист. векторов в ε L{f₁, …, f_m} – лин. оболочка векторов, тогда в L{f₁, …, f_m} существ. ОНБ.

Док-во

L{f₁, …, f_m} – лин. подпр-во ε→ L{f₁, …, f_m} евклид. пр-во размерности m, где f₁, …, f_m обратн. базис.

Док-во индукции по m:

1) m=1, f₁≠0, L{f₁}

e₁ – ОНБ в L{f₁}

2) Допустим, что в L{f₁, …, f_m} ∃ ОНБ.

3) Рассмот. L{f₁, …, f_m}. Заметим, что L{f₁, …, f_m}∈ L{f₁, …, f_m-1, f_m}. Пусть – ОНБ в лин. обл. L{f₁, …, f_m-1}. Строим ОНБ в лин. оболочке L{f₁, …, f_m-1, f_m}.

Рассмотрим вектора:

;

∀k=1, …, m-1;

, по ∀ i ≠k.

; g _m≠0

Если g _m=0, то ∈ L{f₁, …, f_m-1}, чего быть не может.

; Ортонорм. сист. ∈ L{f₁, …, f_m} т.к.. dim L{f₁, …, f_m}=m, то — ОНБ — процесс ортогонализации по Шмидту.

Процесс ортогонализации Грама-Шмидта

— лин. независ. вектора → и

, где ;

, где ; .