Билет 31. Закон инерции квадратичных форм. Классификация квадратичных форм. Критерий Сильвестра положительной определённости квадратичных форм

Теорема 3. (Закон инерции). Число положительных и отрицательных коэффициентов в нормальном виде квадратичной формы не зависит от базиса, в котором квадратичная форма приведена к нормальному виду. Т. е. [e^{^}] = (e^{^}₁, …, e^{^}_n).

x = ⁿå_{i = 1}x^{^i}e^{^}_i;

q(x) = (x^{^1})² + … + (x^{^p^})² – (x^{^p^+1})² -…- (x^{^p^+q^})²; p^{^} + q^{^} £ n.

[e^~] = (e^~₁, …, e^~_n); x = ⁿå_{i = 1}x^~ie^~_i;

q(x) = (x^~1)² + … + (x^~p~)² - (x^~p~+1)² - … - (x^~p~+q~)²;

p^~ + q^~ £ n; т. е. p^{^} = p^~; q^{^} = q^~; (Без док-ва).

Определение 11. Пусть в некотором каноническом базисе квадратичная форма q(x) имеет вид:

q(x) = (x¹)² + … + (x^p)² - (x^p+1)² - … - (x^p+q)²;

тогда число положительных коэффициентов в нормальном виде (p) называется положительным индексом инерции q(x), а число отрицательных коэффициентов (q) – отрицательным индексом инерции.

p + q £ n.

Определение 12. Квадратичная форма q(x), заданная на действительном линейном пространстве, называется:

1) Положительно определённой, если "x Î V, x ¹ q: q(x) > 0;

2) Отрицательно определённой, если "x Î V, x ¹ q: q(x) < 0;

3) Знакопеременной, если $ x, y Î V: q(x) >0, q(y) < 0;

4) Положительно полуопределённой, если "x Î V: q(x) ³ 0 и $ y ÎV, y ¹ q: q(y) = 0;

5) Отрицательно определённой, если "x Î V: q(x) £ 0 и $ y ÎV, y ¹ q: q(y) = 0;

Теорема 4. Пусть квадратичная форма q(x) задана на действительном конечномерном пространстве V_n, p и q – её положительный и отрицательный индексы инерции, тогда квадратичная форма:

1) положительно определена <=> p = n, q = 0;

2) отрицательно определена <=> p = 0, q = n;

3) знакопеременная <=> p > 0, q > 0;

4) положительно полуопределена <=> 0 < p < n, q = 0;

5) отрицательно полуопределенна <=> p = 0, 0 < q < n.

(Без док-ва).

V_n; e₁, …, e_n – произвольный базис; x = ⁿå_i=1xⁱe_i;

q(x) – квадратичная форма.

A_i^q – матрица q(x) в [e]; q(x) = ⁿå_{i, j = 1} a_ijxⁱx^j.

(a₁₁ a₁₂ … a_1n)

A_i^q = (a₂₁ a₂₂ … a_2n)

(………………)

(a_n1 a_n2 … a_nn)

Определение 13. Величины d₁ = a₁₁;

d₂₂ = M(1 2) = (a₁₁ a₁₂)

(1 2) = (a₂₁ a₂₂);

d_k = M(1, …, k) = | a₁₁ a₁₂ … a_1k |

(1, …, k) = | a_k1 a_k2 … a_kk |, …,

d_n = |A_e^q| = | a₁₁ … a_1n |

| a_n1 … a_nn |

называются главными минорами матрицы A_e^q.

Теорема 5 (Критерий Сильвестра).

1) Квадратичная форма q(x) на V_n является положительно определённой т. и т. т., когда все её главные миноры положительны.

(Т. е. "k = 1, …, n: d_k > 0).

2) Квадратичная форма q(x) на V_n является отрицательно определённой т. и т. т., когда знаки её главных миноров чередуются, причём d₁ < 0.

(Т. е. "k = 1, …, n: (-1)^kd_k > 0).

Пример: V₂; n = 2; x = x₁e₁ + x₂ e₂;

q(x) = Ax₁² + 2Bx₁x₂ + Cx₂²;

(A B)

A^q = (B C)

1) Положительно определена q(x) > 0 <=> d₁ = A > 0;

| A B |

d₂ = | B C | = AC – B² > 0.

2) Отрицательно определена q(x) < 0 <=> d₁ = A < 0;

| A B |

d₂ = | B C | = AC * B² > 0.

3) Знакопеременная | A B |

d₂ = | B C | < 0;

4) В остальных случаях q(x) полуопределена.

(Без док-ва).