Ортогональные матр. , их св-ва. Переход от одного ОНБ к другому в евклидовом пр-ве

Определение. Действ. квадр. матр. Q порядка n наз-ся ортогональной, если: , где —матр. транспорн. к Q.

Св-ва ортогональных матриц

1° det Q = ±1

Док-во: :

2° ; (Q – обратная)

3° Матрица А явл. ортогональной когда скалярн. квадрат кваждого столбца равен 1, а скалярн. произведение любых двух столбцов равно 0.

; ;

;

4° Св-во аналог. 3°, справедл. для строк.

5° Если матр. Q ортогон., то Q^-1 тоже ортогональна.

6° Если Q, R- ортогональны, то QR – ортого.

Док-во:

Переход от одного базиса к другому

— ОНБ

— ОНБ

Пусть Q – матр. перехода от базиса [e] к , т.е..:

; ;