Плоская кривая

В других случаях, когда кривая ℒ задана:

а) явно: y = f(x),

б) параметрически: :

в) в полярных координатах

.

Ранее получили, что – длина дуги кривой. поэтому введенная функция монотонно-возрастающая и её можно взять в качестве параметра, задающего уравнения кривой линии. Действительно обратная к функция (в силу монотонности), т.е. t = t(s) и тогда . Такая параметризация кривой называется натуральной или естественной.

Замечание. В отличии от обычной параметризации производную радиус-функции в естественной параметризации будем обозначать

Её важное свойство: .

□ Из формулы длины дуги получим: , тогда