Геометрия пространственных кривых

Для натуральной системы координат.

При построении пространственной системы координат, связанной с кривой, за начало координат берут любую точку на кривой, а за оси ДПСК следующие: за ось абсцисс принимают касательную в этой точке, за ось ординат – главную нормаль, а за ось аппликат – бинормаль. За координатные плоскости выбирают: соприкасающуюся, нормальную и спрямляющую плоскости.

b

P

n

норм

сопр

спрямл

Способы задания пространственных кривых:

Способ задания	Кривая
Векторно-параметрический
Параметрический
Явный
Как пересечение 2-х поверхностей

1) Касательная к пространственной кривой:

R(t)

O

каноническое уравнение касательной

Получим уравнение касательной и кривой как пересечение поверхностей:

.

Тогда заменяя производные дифференциалами в уравнении касательной, получим:

.

2) Нормальная плоскость и её уравнение:

R

O

r

Def. Множество нормалей, проведенных к данной точке на кривой, образуют нормальную плоскость.

(векторное уравнение плоскости)

или если

В случае, когда кривая задана неявно как пересечение двух плоскостей, уравнение нормальной плоскости следующее:

N

.

3) Соприкасающаяся плоскость

R(t)

L

r(t)

Рассмотрим дважды непрерывно дифференцируемую кривую L и т. . В точке М определены векторы - вектор касательной и - вектор …. Если они не коллинеарны, то они и определены уравнениями соприкасающейся плоскости:

или .

b

Сопровождающий трехгранник. Формулы Френе. Кручение

n

2. Уравнение нормальной плоскости

R(t)

R(t)

R(t)

r(t)

n

b

норм

Def. Множество всех нормалей проведенных к пространственной кривой в рассматриваемой точке и образуют нормальную плоскость.

Замечание. В качестве вектора нормали выбирают вектор касательной кривой, т.е. вектор , тогда:

- уравнение нормальной плоскости

Если кривая задана неявно (как пересечение поверхностей и , то вектор и вектора - компланарные

уравнение нормальной плоскости.

3. Соприкасающаяся плоскость криво

ℒ

Пусть т. возьмем на ней еще точки расположенные по разные стороны от т. проведем через них плоскость.

Def. Предельное положение построенной плоскости, проходящей через т. когда две из них стремятся к третьей т. , и будем называть соприкасающейся плоскостью кривой в т.

Теорема. Пусть r = r(t) – дважды непрерывно дифференцируемая кривая. Если в т. вектора - неколлинеарны (), то в этой точке существует соприкасающаяся плоскость, и она проходит через вектора

Замечание 1. Точки кривой, в которых векторы - коллинеарны, называются точками распрямления кривой.

Замечание 2. Вектор нормали, лежащий в соприкасающейся плоскости, называется главным вектором нормали кривой. Орт этого вектора

.

Замечание 3. Из теоремы следует, что вектора - коллинеарные, поэтому

1) или векторное уравнение плоскости или

2) уравнение соприкасаящейся плоскости в координатном виде.

Так как принадлежат соприкасающейся плоскости, то соприкасающуюся плоскость назавают плоскостью ускорения:

а) вектора принадлежат соприкасающейся плоскости, т.к. плоскость проходит через касательную прямую;

б) принадлежит соприкасающейся плоскости, т.е. плоскость проходит через главный вектор нормали;

в) т.е. по нормале разложения вектора лежат в одной плоскости.