Касательная к кривой (в частности плоской)

Q M ℒ

Р

R(t)

Def (касательной). Прямая PQ к которой стремится секущая PH при H – P (по кривой) называется касательной к кривой в точке Р.

Теорема. Гладкая кривая (n=1) без особых точек имеет в любой точке Р касательную.

Замечание. Покажем, что вектор (вычисляемый в точке Р) является направляющим вектором …. к кривой ().

: и при , т. е. в силу дифференцируемости r(t) в т. Р () … предел и с другой стороны секущая при переходит в касательную.

Тогда (из аналитической геометрии) уравнения касательной к кривой

а) в векторно-параметрической форме: , – параметр

б) в параметрической форме: (т.к.

или

.

в) кривая заданная явным уравнением: y = f(x). Параметризуя это уравнение: и используя предыдущую формулу, получаем:

г) кривая задана неявным уравнением: F(x,y) =0. Из математического анализа: и подстав. в …

.

Нормаль к кривой

P

O

R

N

P

r(t)

O

N

Теорема сохраняется (см. выше)

а) в параметрической форме:

б) в векторно-параметрической форме:

в) явное задание кривой: из касательной

г) неявное задание кривой:

или

Таблица

Способ задания	Уравнение касательной	Уравнение нормали
Параметрический: х = х(t) y = y(t)
Явный: y = f(x)
Неявный: F(x,y) =0

Пример. Составить уравнение касательной и нормали к линии:

в т. (1; 2)