Свойства сходящихся последовательностей действительных чисел

Лемма 1. Если все элементы бесконечно малой последовательности равны одному и тому же числу , то .

► Доказываем методом от противного. Предположим, что . По определению бесконечно малой последовательности

В силу произвольности положим . Тогда .По условию . Подставим в неравенство: . Отсюда при получим . ◄

Теорема 1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

► Пусть . Доказываем методом от противного. Предположим, что существует еще один предел , причем . Из определения предела имеем и бесконечно малые последовательности. Отсюда и . Приравнивая, получим . Тогда все члены бесконечно малой последовательности равны одному и тому же числу. По лемме 1 получим . Значит, . ◄

Теорема 2. Если последовательность сходится, то она ограничена:

► Пусть – сходящаяся последовательность. По определению предела для любого существует натуральное число , такое, что для любого выполняется неравенство . Тогда для любого имеет место неравенство:

, т.е. .

Пусть . Тогда , что и означает ограниченность числовой последовательности. ◄

Замечание. Обратное верно не всегда: ограниченная последовательность может и не иметь предела.

Теорема 3. Сумма (разность) двух сходящихся последовательностей есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме пределов последовательностей:

► Поскольку , то можно записать . Аналогично, , то . Здесь и бесконечно малые последовательности при . Тогда

Последовательность есть бесконечно малая последовательность при . Следовательно, последовательность сходится и имеет предел, равный .

Аналогично для разности последовательностей. ◄

Теорема 4. Произведение двух сходящихся последовательностей есть сходящаяся последовательность предел которой равен произведению пределов последовательностей:

► Поскольку , то можно записать и , где и бесконечно малые последовательности при . Тогда

Последовательности , , есть бесконечно малые последовательности при согласно свойствам бесконечно малых последовательностей. Следовательно, последовательность сходится и имеет предел, равный .◄

Теорема 5. Частное двух сходящихся последовательностей и , , есть сходящаяся последовательность, предел которой равен частному пределов последовательностей: