2015-04-17
439
Определение 1. Последовательность 
называется неубывающей, если ее элементы удовлетворяют условию 
.
Последовательность называется возрастающей, если ее элементы удовлетворяют условию 
.
Последовательность называется невозрастающей, если ее элементы удовлетворяют условию 
.
Последовательность называется убывающей, если ее элементы удовлетворяют условию
.
Определение 2. Последовательность называется монотонной, если удовлетворяет неравенствам определения 1. Последовательность называется строго монотонной, если она возрастающая или убывающая.
Очевидно, что монотонные последовательности ограничены, по крайней мере, с одной стороны: неубывающие снизу, невозрастающие сверху.
Терема 1 (Вейерштрасса). Каждая ограниченная монотонная последовательность сходится.
► Пусть последовательность неубывающая, т.е. 
..
Поскольку ограничена, то 
.
Рассмотрим множество 
значений последовательности . В силу условия, оно не пусто и ограничено. Тогда это множество имеет точную верхнюю грань 
. Согласно определению верхней грани
, т.е. 
.
С другой стороны, по определению верхней грани выполняется неравенство 
.
Тогда 
получим 
. Отсюда 
, что означает 
.
Аналогично теорема доказывается в случае, когда последовательность невозрастающая. ◄
Замечание. Обратное верно не всегда: не всякая сходящаяся последовательность является монотонной.
