Абсолютно сходящиеся ряды

Ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд с неотрицательными членами сходится.

Теорема 2 Если ряд абсолютно сходится, то он сходится.

Обратное утверждение в общем случае не имеет места.

Абсолютно сходящиеся ряды обладают свойствами:

– если ряд абсолютно сходится и = , = , то ;

– если ряды и абсолютно сходятся, то при любых и ряд абсолютно сходится;

– если ряд абсолютно сходится, то ряд, составленный из тех же членов, но взятых в другом порядке, также абсолютно сходится и его сумма равна сумме исходного ряда;

– если ряды и абсолютно сходятся, то ряд, составленный из всевозможных попарных произведений членов этих рядов, расположенных в любом порядке, также абсолютно сходится.

Если ряд сходится, а ряд расходится, то ряд называется условно сходящимся.

Для ряда обозначим через , , …, ,… и , , …, , … соответственно его неотрицательные и отрицательные члены, взятые в том же порядке, в котором они расположены в ряде . Рассмотрим ряды и , члены которых неотрицательны.

Теорема 3 Если ряд условно сходится, то оба ряда и расходятся.

Теорема 4 (Римана) Если ряд условно сходится, то, каково бы ни было действительное число , можно так переставить его члены, что сумма получившегося ряда будет равна