Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами

Теорема 4Для того чтобы ряд с неотрицательными членами сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность частичных сумм этого ряда была ограничена.

Теорема 5 (интегральный признак Коши) Если неотрицательная интегрируемая функция на промежутке монотонно убывает, и члены ряда имеют вид , то ряд и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно, причем в случае сходимости имеет место неравенство:

.

Теорема 6 (признак сравнения) Пусть для членов рядов и справедливо неравенство . Тогда:

1) если ряд сходится, то и ряд сходится,

2) если ряд расходится, то и ряд расходится.

Следствие (предельный признак сравнения) Пусть для членов рядов () и () существует конечный предел:

, .

Тогда ряды и сходятся и расходятся одновременно.

Для исследования на сходимость рядов с помощью признаков сравнения используются ряды:

– ряд из элементов геометрической прогрессии: , , сходящийся при и расходящийся при ;

– обобщенный гармонический ряд: , сходящийся при и расходящийся при .

Теорема 7 (признак Д’аламбера) Пусть для ряда () существует предел

.

Тогда при ряд сходится, а при ряд расходится.

Вопрос о сходимости ряда остается открытым, если .

Теорема 8 (признак Коши) Пусть для ряда () существует предел

.

Тогда при ряд сходится, а при ряд расходится.

Вопрос о сходимости ряда остается открытым, если .

Из существования предела следует, что существует и предел . Обратное утверждение не всегда имеет место, т. е. признак Коши «сильнее» признака Д’аламбера