Студопедия


Авиадвигателестроения Административное право Административное право Беларусии Алгебра Архитектура Безопасность жизнедеятельности Введение в профессию «психолог» Введение в экономику культуры Высшая математика Геология Геоморфология Гидрология и гидрометрии Гидросистемы и гидромашины История Украины Культурология Культурология Логика Маркетинг Машиностроение Медицинская психология Менеджмент Металлы и сварка Методы и средства измерений электрических величин Мировая экономика Начертательная геометрия Основы экономической теории Охрана труда Пожарная тактика Процессы и структуры мышления Профессиональная психология Психология Психология менеджмента Современные фундаментальные и прикладные исследования в приборостроении Социальная психология Социально-философская проблематика Социология Статистика Теоретические основы информатики Теория автоматического регулирования Теория вероятности Транспортное право Туроператор Уголовное право Уголовный процесс Управление современным производством Физика Физические явления Философия Холодильные установки Экология Экономика История экономики Основы экономики Экономика предприятия Экономическая история Экономическая теория Экономический анализ Развитие экономики ЕС Чрезвычайные ситуации ВКонтакте Одноклассники Мой Мир Фейсбук LiveJournal Instagram

Ряд Тейлора




Теорема 1 (Тейлора) Функция , однозначная и аналитическая в круге , единственным образом разлагается в этом круге в ряд Тейлора

,где , , .

Коэффициенты , учитывая интеграл типа Коши (практическое занятие 5), можно вычислять по формулам , ,где – произвольная окружность с центром в точке .

Говорят, что функция голоморфна в точке , если она в некоторой окрестности этой точки раскладывается в ряд по степеням ( ). Функция, голоморфная в каждой точке области , называется голоморфной в этой области.

Особой точкой функции называется точка, в которой функция не является аналитической.

При имеет место ряд Маклорена: .

Разложения в ряд Маклорена некоторых элементарных функций комплексной переменной аналогичны разложениям в ряд Тейлора функций действительной переменной:

, ,

, ,

, ,

, ,

, .

Ряд Тейлора для многозначной функции получается из разложения соответствующей однозначной функции путем прибавления к нему чисел , .


Вопрос 5Несобственные интегралы. Признаки сходимости несобственных интегралов.

5.1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования (первого рода).Пусть функция непрерывна на промежутке . Тогда она будет непрерывной на любом конечном отрезке , . Для функции непрерывной на , существует определенный интеграл , зависящий от верхнего предела интегрирования:

.

Этот интеграл определяет некоторую величину, например площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , прямыми , и осью абсцисс. Будем неограниченно увеличивать верхний предел интегрирования ( ). При этом возможны два случая: либо при имеет предел, либо не имеет.

Определение 1. Несобственным интегралом с бесконечным верхнимпределом интегрирования, от непрерывной функции на промежутке называется предел при :

.

Если существует конечный предел , то несобственный интеграл называется сходящимся, если этот предел не существует, то – расходящимся.

Аналогично определяется несобственный интеграл с бесконечным нижним пределоминтегрирования от непрерывной функции на промежутке .

Определение 2. Несобственным интегралом с бесконечным нижним пределом интегрирования, от непрерывной функции на промежутке называется предел при :

.

Если существует конечный предел , то несобственный интеграл называется сходящимся, если этот предел не существует, то – расходящимся.

Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами интегрированияот непрерывной функции на промежутке , обозначаемый , предварительно представляют в виде

, .

Тогда по определению

.

причем этот несобственный интеграл называется сходящимся, если оба предела существуют. Если хотя бы один из пределов не существует или бесконечен, то несобственный интеграл называется расходящимся.




Интегралы , , называются также несобственными интегралами первого рода.

С геометрической точки зрения сходящийся несобственный интеграл означает, что фигура, ограниченная кривой , прямыми , и бесконечно вытянутая в направлении оси , имеет конечную площадь (рис.1).

Рис.1.Геометрический смысл сходящегося несобственного

интеграла с бесконечным верхним пределом

Аналогичная геометрическая интерпретация имеет место для двух других сходящихся несобственных интегралов.

Примеры. Вычислить интегралы 1) , 2) .

Решение. 1. Имеем

.

2. При имеем

.

При получим

Следовательно, интеграл сходится при и расходится при .

Определение 3. Интегралом в смысле главного значения называется интеграл:

, . (1)

Отличие интеграла в смысле главного значения от несобственного интеграла состоит в том, что несобственный интеграл есть

(2)

при произвольных и , а интеграл в смысле главного значения (1) есть предел того же интеграла, но при

Очевидно, что, если существует несобственный интеграл (2), то и существует интеграл в смысле главного значения (1). Обратное верно не всегда: интеграл в смысле главного значения (1) может существовать, а несобственный интеграл (2) – нет.

5.2. Несобственные интегралы от неограниченных функций (второго рода).Пусть функция определена на промежутке и неограничена в левосторонней окрестности точки ( – точка бесконечного разрыва), т.е. . Будем считать, что функция интегрируема на отрезке для любого : существует интеграл , зависящий от переменного верхнего предела интегрирования.



Определение 4. Несобственным интегралом второго родаот функции непрерывной на промежутке и имеющей бесконечный разрыв в точке называется предел интеграла при :

, .

Аналогично если функция имеет бесконечный разрыв в точке .

Определение 5. Несобственным интегралом второго родаот функции непрерывной на промежутке и имеющей бесконечный разрыв в точке называется предел интеграла при :

, .

Если же функция имеет разрыв второго рода в некоторой внутренней точке отрезка , то, пользуясь свойством аддитивности определенного интеграла, данный интеграл необходимо представить в виде суммы двух интегралов:

.

Если пределы в правых частях формул существуют и конечны, то соответствующие несобственные интегралы от разрывной функции в точках , и называются сходящимися, в противном случае – расходящимися.

С геометрической точки зрения сходящийся несобственный интеграл второго рода означает, что фигура, ограниченная кривой , прямыми и бесконечно вытянутая в направлении оси при ( , ), имеет конечную площадь (Рис.2, а – в соответственно).

Рис.2.Геометрический смысл несобственных

Интегралов от неограниченных функций

Пример. Вычислить интеграл .

Решение. При имеем:

.

При имеем

Следовательно, интеграл сходится при и расходится при .

5.3. Формулы интегрального исчисления для несобственных интегралов.В силу свойств предела функции и определения несобственного интеграла как предела функции, являющейся интегралом Римана с переменным пределом интегрирования, многие свойства определенного интеграла предельным переходом переносятся на несобственные интегралы. Для простоты будем рассматривать случай несобственного интеграла от функций, определенных на полуинтервале и интегрируемых по Риману на любом отрезке , .

Формула Ньютона-Лейбница.Если функция непрерывна на промежутке и – какая-либо ее первообразная, то

.

Линейность интеграла. Если несобственные интегралы и сходятся, то для любых чисел и несобственный интеграл также сходится и

.

Интегрирование неравенств.Если несобственные интегралы и сходятся и для всех выполняется неравенство , то

.

Правило замены переменной.Если функция непрерывна на промежутке , функция непрерывно дифференцируема на промежутке , , и выполняются условия , , , то

.

Правило интегрирования по частям.Пусть и непрерывны на промежутке , а их производные и кусочно-непрерывны на любом отрезке , . Тогда

.

Пример. Вычислить интеграл , .

Решение. Проинтегрируем по частям

,

т.е. .

Поскольку , то, применяя последовательно рекуррентную формулу, получим

.





Дата добавления: 2015-04-17; просмотров: 2215; Опубликованный материал нарушает авторские права? | Защита персональных данных | ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ


Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Да какие ж вы математики, если запаролиться нормально не можете??? 8247 - | 7214 - или читать все...

Читайте также:

 

54.81.69.220 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.


Генерация страницы за: 0.01 сек.