Ряд Тейлора

Теорема 1 (Тейлора) Функция , однозначная и аналитическая в круге , единственным образом разлагается в этом круге в ряд Тейлора

,где , , .

Коэффициенты , учитывая интеграл типа Коши (практическое занятие 5), можно вычислять по формулам , ,где – произвольная окружность с центром в точке .

Говорят, что функция голоморфна в точке , если она в некоторой окрестности этой точки раскладывается в ряд по степеням (). Функция, голоморфная в каждой точке области , называется голоморфной в этой области.

Особой точкой функции называется точка, в которой функция не является аналитической.

При имеет место ряд Маклорена: .

Разложения в ряд Маклорена некоторых элементарных функций комплексной переменной аналогичны разложениям в ряд Тейлора функций действительной переменной:

, ,

, .

Ряд Тейлора для многозначной функции получается из разложения соответствующей однозначной функции путем прибавления к нему чисел , .

Вопрос 5 Несобственные интегралы. Признаки сходимости несобственных интегралов.

5.1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования (первого рода). Пусть функция непрерывна на промежутке . Тогда она будет непрерывной на любом конечном отрезке , . Для функции непрерывной на , существует определенный интеграл , зависящий от верхнего предела интегрирования:

Этот интеграл определяет некоторую величину, например площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , прямыми , и осью абсцисс. Будем неограниченно увеличивать верхний предел интегрирования (). При этом возможны два случая: либо при имеет предел, либо не имеет.

Определение 1. Несобственным интегралом с бесконечным верхнимпределом интегрирования, от непрерывной функции на промежутке называется предел при :

Если существует конечный предел , то несобственный интеграл называется сходящимся, если этот предел не существует, то – расходящимся.

Аналогично определяется несобственный интеграл с бесконечным нижним пределоминтегрирования от непрерывной функции на промежутке .

Определение 2. Несобственным интегралом с бесконечным нижним пределом интегрирования, от непрерывной функции на промежутке называется предел при :

Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами интегрированияот непрерывной функции на промежутке , обозначаемый , предварительно представляют в виде

, .

Тогда по определению

причем этот несобственный интеграл называется сходящимся, если оба предела существуют. Если хотя бы один из пределов не существует или бесконечен, то несобственный интеграл называется расходящимся.

Интегралы , , называются также несобственными интегралами первого рода.

С геометрической точки зрения сходящийся несобственный интеграл означает, что фигура, ограниченная кривой , прямыми , и бесконечно вытянутая в направлении оси , имеет конечную площадь (рис.1).

Рис.1.Геометрический смысл сходящегося несобственного

интеграла с бесконечным верхним пределом

Аналогичная геометрическая интерпретация имеет место для двух других сходящихся несобственных интегралов.

Примеры. Вычислить интегралы 1) , 2) .

Решение. 1. Имеем

2. При имеем

При получим

Следовательно, интеграл сходится при и расходится при .

Определение 3. Интегралом в смысле главного значения называется интеграл:

, . (1)

Отличие интеграла в смысле главного значения от несобственного интеграла состоит в том, что несобственный интеграл есть

(2)

при произвольных и , а интеграл в смысле главного значения (1) есть предел того же интеграла, но при

Очевидно, что, если существует несобственный интеграл (2), то и существует интеграл в смысле главного значения (1). Обратное верно не всегда: интеграл в смысле главного значения (1) может существовать, а несобственный интеграл (2) – нет.

5.2. Несобственные интегралы от неограниченных функций (второго рода). Пусть функция определена на промежутке и неограничена в левосторонней окрестности точки ( – точка бесконечного разрыва), т.е. . Будем считать, что функция интегрируема на отрезке для любого : существует интеграл , зависящий от переменного верхнего предела интегрирования.

Определение 4. Несобственным интегралом второго рода от функции непрерывной на промежутке и имеющей бесконечный разрыв в точке называется предел интеграла при :

, .

Аналогично если функция имеет бесконечный разрыв в точке .

Определение 5. Несобственным интегралом второго рода от функции непрерывной на промежутке и имеющей бесконечный разрыв в точке называется предел интеграла при :

, .

Если же функция имеет разрыв второго рода в некоторой внутренней точке отрезка , то, пользуясь свойством аддитивности определенного интеграла, данный интеграл необходимо представить в виде суммы двух интегралов:

Если пределы в правых частях формул существуют и конечны, то соответствующие несобственные интегралы от разрывной функции в точках , и называются сходящимися, в противном случае – расходящимися.

С геометрической точки зрения сходящийся несобственный интеграл второго рода означает, что фигура, ограниченная кривой , прямыми и бесконечно вытянутая в направлении оси при (, ), имеет конечную площадь (Рис.2, а – в соответственно).

Рис.2.Геометрический смысл несобственных

Интегралов от неограниченных функций

Пример. Вычислить интеграл .

Решение. При имеем:

При имеем

Следовательно, интеграл сходится при и расходится при .

5.3. Формулы интегрального исчисления для несобственных интегралов. В силу свойств предела функции и определения несобственного интеграла как предела функции, являющейся интегралом Римана с переменным пределом интегрирования, многие свойства определенного интеграла предельным переходом переносятся на несобственные интегралы. Для простоты будем рассматривать случай несобственного интеграла от функций, определенных на полуинтервале и интегрируемых по Риману на любом отрезке , .