Простейшие свойства числовых рядов, критерий Коши сходимости ряда

Ряд

,

называется рядом с неотрицательными членами.

Для рядов с неотрицательными членами справедливы следующие свойства:

– перестановка, отбрасывание или добавление конечного числа членов ряда не влияет на его сходимость (расходимость);

– если ряды и сходятся и их суммы равны и соответственно, то ряд также сходится и

.

Ряд называется суммой рядов и ;

– если ряд сходится и его сумма равна , то ряд также сходится и

.

Ряд называется произведением ряда на число ;

– если ряд сходится, то и ряд, полученный группировкой его членов без изменения порядка их расположения, также сходится и имеет ту же сумму, что и исходный ряд.

Теорема 3 (критерий Коши сходимости ряда) Для того чтобы ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы для любого существовало такое число , что для всех и всех имело место неравенство:

.