Интегральная формула Коши

Теорема 1 (интегральная формула Коши) Пусть функция аналитична в области . Тогда для любой точки справедливо равенство

где – кусочно-гладкий замкнутый контур, целиком лежащий в области и охватывающий точку .

Интеграл , стоящий в правой части равенства теоремы 1, называется интегралом Коши функции .Если в условиях теоремы точка расположена вне области, ограниченной контуром , то

Теорема 2 (о среднем) Значение аналитической функции в любой точке области , в которой функция является аналитической, равно среднему арифметическому ее значений на любой окружности с центром в точке , целиком лежащей в области .

Пусть функция аналитическая в односвязной области . Если в области постоянна действительная часть функции или постоянен модуль функции , то функция постоянна в области .

Теорема 3 (о максимуме модуля) Пусть функция , не равная тождественно постоянной, является аналитической в области и непрерывна в . Тогда максимальное (минимальное) значение модуля достигается только на границе области .