Связь интеграла комплексной переменной с криволинейным интегралом второго рода

Теорема 1. Если функция комплексного переменного непрерывна на гладкой кривой , заданной параметрическими уравнениями , , а начальная и конечная точка дуги соответствуют значениям и , то интеграл существует и справедлива формула

, где , .

Теорема 2. Если функция комплексного переменного непрерывна на гладкой кривой , то интеграл существует и справедлива формула

.

► Пусть непрерывна на кривой , уравнение которой , .

Тогда

◄

Следствие. , где – дифференциал длины дуги кривой .

Пример. Вычислить интеграл , где обход окружности осуществляется в положительном направлении.

Решение. Параметрические уравнения окружности с центром в точке есть

Отсюда получим комплексно-параметрическое уравнение окружности

, где .

Тогда

.

6.3. Свойства интегралов по комплексному переменному. Интегралы от комплексного переменного обладают следующими свойствами.

1 (линейность). Если и непрерывны на кусочно-гладкой кривой , то для любых комплексных постоянных и

.

2 (ориентированность). Пусть и — один и тот же путь интегрирования, проходимый соответственно в положительном и отрицательном направлении кусочно-гладкой кривой , и функция непрерывна на этой кривой. Тогда

.

3 (аддитивность). Пусть кривая состоит из кусочно-гладких кривых и функция непрерывна на . Тогда

,

причем направление на кривых , , совпадает с направлением на кривой .

4. Если – произвольная кусочно-гладкая кривая с началом и концом , то .

5. Если – гладкая кривая, замкнутая или незамкнутая, имеющая длину , то .

6 (оценка интеграла). Для любой функции , непрерывной на гладкой кривой , справедливо неравенство

.

7. Если во всех точках гладкой кривой , то справедливо неравенство

, где – длина кривой .

6.4. Основная теорема Коши. Пусть функция является аналитической в односвязной области .

Теорема 3 (Коши). Если функция аналитична в односвязной области , то интеграл от этой функции по любому кусочно-гладкому замкнутому контуру , целиком лежащему в области , равен нулю

.

► Предположим, что непрерывна. Пусть — какой-нибудь кусочно-гладкий замкнутый контур, целиком лежащий в области и . Тогда согласно теореме 2 имеем

.

В силу условий Коши – Римана в области имеем

, .

Из непрерывности в области вытекает непрерывность частных производных первого порядка по и по от функций и . Так как функции и непрерывно дифференцируемы в области , удовлетворяют в ней равенствам Коши-Римана и область односвязна, то, с учетом формулы Грина, получим

, .

Отсюда получаем . ◄

Теорема Коши для многосвязной области. Теорема Коши допускает распространение на случай многосвязной области.

Рассмотрим для определенности трехсвязную область , ограниченную внешним контуром и внутренними контурами и . Выберем положительное направление обхода контуров: при обходе область остается слева (см. рис.2).

Рис.2.

Пусть функция аналитична в области и на контурах , и , (т. е. в замкнутой области ). Проведя два разреза (две дуги) и области (см.рис.2), получим новую односвязную область , ограниченную замкнутым ориентированным контуром , состоящим из контуров , , и разрезов и :

.

По теореме Коши для односвязной области

.

Учитывая

,

т. к. каждый из разрезов (дуг) и при интегрировании проходится дважды в противоположных направлениях. Поэтому получаем:

т. е. интеграл от аналитической в замкнутой многосвязной области функции по границе области , проходимой в положительном направлении, равен нулю.

Замечание. Изменив направление обхода внутренних контуров , будем иметь

где все контуры , , обходятся в одном направлении: против часовой стрелки (или по часовой стрелке). В частности, если аналитична в двусвязной области, ограниченной контурами и и на самих этих контурах (см. рис.3), то

,

т.е. «интеграл от функции по внешнему контуру равен интегралу от функции по внутреннему контуру (контуры и обходятся в одном направлении).

Рис.3.

Рис.4.

— аналитическая функция в односвязной области . Тогда интеграл от функции не зависит от формы пути интегрирования, а зависит лишь от начальной точки и конечной точки пути интегрирования.

► Пусть и две кривые в области , соединяющей точки и (рис.4). По теореме Коши

.

С другой стороны, по свойствам интеграла

.

Следовательно, .

Откуда . ◄