Определение интеграла

Пусть. Пусть — однозначная функция комплексного переменного , определенная на некоторой гладкой кривой с началом в точке и концом в точке . Кривая может быть как замкнутой, так и незамкнутой. Направление движения по кривой от начальной точки к конечной точке называется положительным направлением на кривой и обозначается через . Противоположное направление на кривой называется отрицательным и обозначается .

Разобьем кривую на частичных дуг произвольно выбранными точками , , , , , , причем , , расположенными последовательно в положительном направлении кривой (рис. 1).

Рис.1. Разбиение кривой

На каждой частичной дуге , , выберем произвольную точку и составим интегральную сумму

, где .

Определение 1. Комплексное число называется пределом интегральных сумм , при , если для любого найдется такое , что при любом разбиении кривой на частичные дуги , , и при любом выборе точек на частичных дугах имеет место неравенство при .

Определение 2. Предел интегральных сумм при , если он существует, называется интегралом от функции вдоль кривой (в выбранном направлении).

Обозначается: .

Если для функции , определенной на кривой , данный предел существует, то говорят, что функция интегрируема по кривой . Кривая называется путем или контуром интегрирования.

Интеграл от функции в положительном направлении кривой обозначается . Интеграл от функции в отрицательном направлении кривой – символом . В случае замкнутого контура интеграл от функции по кривой обозначается символом .

Положительным направлением обхода замкнутого простого контура считается такое направление движения, при котором область, ограниченная данным замкнутым контуром и находящаяся внутри контура , остается слева от направления движения. Противоположное направление обхода замкнутого контура называется отрицательным. Интеграл по замкнутому контуру в положительном направлении обозначается , интегрирование в отрицательном направлении – символом .