Решение типовых задач. Пример 1. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах и

Пример 1. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах и .

Решение. Диагоналями параллелограмма являются векторы и . Тогда , , , следовательно, – угол между диагоналями равен .

Ответ. _.

Пример 2. Дано: , , , . Вычислить – длину вектора .

Решение. Из свойства (5) скалярного произведения ; но , , , следовательно, _.

Ответ. .

Пример 3. Упростить выражение .

Решение. На основании свойств векторного произведения получим

, но , , тогда .

Ответ. .

Пример 4. В треугольнике с вершинами , , найти длину высоты .

Решение. , откуда , где . Найдем координаты векторов: , .

Тогда

;

, то есть ;

, следовательно, .

Ответ.

Пример 5. Доказать, что точки , , и лежат в одной плоскости.

Решение. Достаточно показать, что векторы , и компланарны, то есть их смешанное произведение равно нулю.

, , ;

Пример 6. Найти объем тетраэдра, построенного на векторах , , . Правой или левой является тройка векторов ?

Решение. Найдем смешанное произведение этих векторов:

.

, значит, векторы образуют левую тройку;