Решение типовых задач. Пример 1:Исследовать функцию на глобальный экстремум при

Решение:

Находим область определения функции и проверяем, содержится ли в ней весь отрезок. , .

Определяем все стационарные точки, попадающие в отрезок. Для этого находим производную и приравниваем ее к нулю, решаем полученное уравнение и выбираем подходящие корни.

.

, если , отсюда

Определяем все критические точки, попадающие в отрезок. Для этого найдем те точки, в которых производная не существует.

или .

Вычисляем значение функции в отобранных точках, а также на концах отрезка.

Из полученных значений функции выбираем наибольшее и наименьшее значения.

и .

Ответ: и .

Пример 2: Найти наибольшее и наименьшее значение функции на интервалах

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) ;

ж) .

Решение:

Находим область определения функции и проверяем, содержится ли в ней весь интервал.

Начнем с области определения функции. Квадратный трехчлен в знаменателе дроби не должен обращаться в ноль:

.

Легко проверить, что все интервалы из условия задачи принадлежат области определения функции.

Определяем все стационарные точки, попадающие в интервал. Для этого находим производную и приравниваем ее к нулю, решаем полученное уравнение и выбираем подходящие корни.

Производная обращается в ноль при . Эта стационарная точка попадает в интервалы и .

Определяем все критические точки, попадающие в интервал. Для этого найдем те точки, в которых производная не существует.

Критических точек нет.

Вычисляем значение функции в отобранных точках, а также на концах отрезка в зависимости от вида промежутка.

а) Для первого промежутка вычисляем значение функции при и предел на минус бесконечности:

Так как , то , а о наименьшем значении функции выводов сделать нельзя. Можно лишь утверждать, что значения функции ограничены снизу значением -1 (на минус бесконечности значения функции асимптотически приближаются к бесконечности значения функции асимптотически приближаются к прямой ).

б) Второй интервал интересен тем, что не содержит ни одной стационарной точки и ни одна из его границ не является строгой. В этом случае мы не сможем найти ни наибольшего, ни наименьшего значения функции. Вычислив предел на минус бесконечности и при стремлении аргумента к –3 слева, мы лишь сможем определить интервал значений функции:

Следовательно, значения функции находятся в интервале при x из промежутка .

в) Для третьего промежутка вычислим значении функции в стационарной точке и при , а также односторонний предел, при стремлении аргумента к -3 справа:

.

Следовательно, наибольшее значение на этом интервале функция принимает в стационарной точке , наименьшее значение функции мы вычислить не можем, но значения функции ограничены снизу величиной -4.

г) Для интервала воспользуемся результатами из предыдущего пункта и еще вычислим односторонний предел при стремлении к 2 слева:

.

Поэтому , наименьшее значение определить нет возможности, значения функции ограничены снизу величиной -4.

д) Результаты предыдущих двух пунктов позволяют утверждать, что на интервале наибольшее значение функция принимает при , наименьшее значение найти нельзя, значения функции ограничены снизу величиной -4.

е) На промежутке функция не достигает ни наибольшего, ни наименьшего значения.

.

То есть, на этом интервале функция принимает значения из промежутка .

ж) Вычислив значение функции при , можно утверждать, что и на плюс бесконечности функция асимптотически приближается к прямой .