double arrow

Решение. частица будет обнаружена в интервале dx (от х до х+dх), пропорциональна этому интервалу и квадрату модуля волновой функции

Вероятность того, что

частица будет обнаружена в интервале dx (от х до х+dх), пропорциональна этому интервалу и квадрату модуля волновой функции, описывающей данное состояние, равна

dw = |ψ (x) |2dx.

В первом случае искомая вероятность найдется интег­рированием в пределах от 0 до 0,01 l:

. (3.13)

Знак модуля опущен, т.к. ψ – функция в данном случае не является комплексной.

Т.к. х изменяется в интервале 0 £ x £ 0,01 l и, следовательно, , справедливо приближенное равенство

.

С учетом этого выражения (3.13) примет вид

.

После интегрирования получим

.

Во втором случае можно обойтись без интегрирования, т.к. квадрат модуля волновой функции вблизи ее максимума в заданном малом интервале (Dl = 0,01 l) практически не изменяется. Искомая вероятность во втором случае определяется выражением

w = |ψ (l /2) |2Dl,

или

.

x
U(x)
0
Пример 6. Электрон находится в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме шириной l = 10 cм,рис.3.2. Вычислить наименьшую разность двух соседних энергетических уровней электрона.

Решение. Воспользуемся свойствами волновой функции. Т.к. внутри потенциального ящика (при 0 £ x £ l) потенциальная энергия электрона U = 0, то его полная энергия есть кинетическая энергия T. Согласно закону сохранения энергии, при движении электрона T = const. Следовательно, и сохраняется импульс электрона . Учитывая два возможных направления электрона вдоль оси х, запишем проекции импульса на ось х: рх1 = р; рх2 = -р. Согласно соотношению де Бройля, двум, отличающимся лишь знаком проекциям рх импульса соответствуют две плоские монохроматические волны де Бройля, распространяющиеся в противоположных направлениях вдоль оси х. В результате интерференции возникнут стоячие волны де Бройля, характеризующиеся стационарным, т.е. не зависящим от времени, распределением вдоль оси х амплитуды колебаний. Эта амплитуда есть волновая функция ψ (x), квадрат которой определяет плотность вероятности пребывания электрона в точке с координатой х.

Т.к. потенциальный ящик бесконечно глубок (U = ∞ при x>0 и x>l), электрон не может оказаться за его пределами. Поэтому ψ (x) = 0 при x>0 и x>l. Отсюда в силу свойства непрерывности волновой функции следует ψ (0)= 0, ψ (l) = 0,

Таким образом, амплитуда колебаний в стоячей волне де Бройля равна нулю в точках x = 0, x = l, т.е. здесь находятся узлы стоячей волны. Поскольку расстояние между соседними узлами равно половине длины волны, то в потенциальном ящике могут лишь быть волны де Бройля, длина которых удовлетворяет условию

l = nλn/ 2 (n = 1, 2, 3,…),

т.е. на ширине ящика должно укладываться число полуволн. Отсюда

λn = 2 l/n. (3.14)

Из соотношения (3.14) делаем вывод, что в потенциальном ящике существуют уровни энергии частицы. Действительно полная энергия электрона в ящике равна

Подставив сюда значение λ из (3.14), получим

(n = 1, 2, 3,…). (3.15)

Т.к. отношение уровней энергии W1:W2 :W3 … = 1:4:9 , то наименьшая разность уровней

. (3.16)

Проверим, дает ли полученная формула единицу энергии. Для этого в правую часть формулы (3.16) вместо символов величин подставим обозначения их единиц:

.

Произведем вычисления:

.

Пример 7. Вычислить дефект массы и энергию связи ядра .

Решение. Масса ядра всегда меньше суммы масс свободных (находящихся вне ядра) протонов и нейтронов, из которых ядро образовалось. Дефект массы ядра Dm и есть разность между суммой масс свободных нукло­нов (протонов и нейтронов) и массой ядра, т.е.

Dm = Zmp+ (A-Z) mn-mя (3.17)

где Z – атомный номер (число протонов в ядре); А – массовое число (число нуклонов, составляющих ядро); mp, mn, mя – соответственно массы протона, нейтрона и ядра.

В справочных таблицах всегда даются массы нейтральных атомов, но не ядер, поэтому формулу (1) целесообразно преобразовать так, чтобы в нее входила масса mя нейтрального атома. Можно считать, что масса нейтрального атома равна сумме масс ядра и электронов, составляющих электронную оболочку атома: mа = mя + Zme, откуда

mя = mаZme. (3.18)

Выразив в равенстве (3.17) массу ядра по формуле (3.18), получаем

Dm = Zmp +(AZ) mnma + Zme, или Dm = Z (mp + me)+(AZ) mnma.

Замечая, что mр + mе = mH, где mH – масса атома водорода, окончательно находим

Dm = ZmH +(AZ) mnma. (3.19)

Подставив в выражение (3.19) числовые значения масс, получим

Dm = [3.1, 00783 + (7—3).1,00867—7.0,1601] = 0,04216 а.е.м.

В соответствии с законом пропорциональности массы и энергии

E = c2Dm, (3.20)

где с – скорость света в вакууме.

Коэффициент пропорциональности с2 может быть вы­ражен двояко:

с2 = 9.1016м22,или с2 = DE/Dm = 9.1016Дж/кг.

Если вычислить энергию связи, пользуясь внесистем­ными единицами, то с2 = 931МэВ/а.е.м. С учетом этого формула (3.20) примет вид

E = 931 Dm (МэВ). (3.21)

Подставив найденное значение дефекта массы ядра в формулу (5), получим

E = 931.0,04216 МэВ = 39,2 МэВ.

Примечание. Термин «дефект массы» часто применяют в другом смысле: дефектом массы D называют разность между массой нейт­рального атома данного изотопа и его массовым числом А: D = mаА. Эта величина особого физического смысла не имеет, но ее использование позволяет в ряде случаев значительно упростить вычисления. В настоящем учебном пособии всюду имеется в виду дефект массы Dm, определяемый формулой (3.17).

Пример 8. При соударении a-частицы с ядром бора B произошла ядерная реакция, в результате которой образовалось два новых ядра. Одним из этих ядер было ядро атома водорода Н. Определить порядковый номер и массовое число второго ядра, дать символическую запись ядерной реакции и определить ее энергетический эффект.

Решение. Обозначим неизвестное ядро символом Х. Т.к. a-частица представляет собой ядро гелия Не, запись реакции имеет вид

Не+ Н+ Х.

Применив закон сохранения числа нуклонов, получим уравнение 4+10 = 1+ А. откуда А = 13. Применив закон сохранения заряда, получим уравнение 2+5 = 1 +Z, откуда Z = 6. Следовательно, неизвестное ядро является ядром атома изотопа углерода C.

Теперь можем записать реакцию в окончательном виде:

Не+ Н+ C.

Энергетический эффект Q ядерной реакции определяется по формуле

Q = 931[(mHe+mB)-(mH+mC)].

Здесь в первых круглых скобках указаны массы исходных ядер, во вторых скобках – массы ядер – продуктов реакции. При числовых подсчетах по этой формуле массы ядер заменяют массами нейтральных атомов. Возможность такой замены вытекает из следующих соображений.

Число электронов в электронной оболочке нейтрального атома равно его зарядовому числу Z. Сумма зарядовых чисел исходных ядер равна сумме зарядовых чисел ядер – продуктов реакции. Следовательно, электронные оболочки ядер гелия и бора содержат вместе столько же электронов, сколько их содержат электронные оболочки ядер углерода и водорода.

Очевидно, что при вычитании суммы масс нейтраль­ных атомов углерода и водорода из суммы масс атомов гелия и бора массы электронов выпадут и мы получим тот же результат, как если бы брали массы ядер. Подста­вив массы атомов в расчетную формулу, получим

Q = 931(4,00260+ 10,01294)—(1,00783 + 13,00335) МэВ = 4,06 МэВ.

Пример 9. Определить начальную активность А0 радиоактивного препарата магния 27Mg массой m = 0,2 мкг, а также его активность А через время t = 6ч. Период полураспада Т½ магния считать известным.

Решение. Активность А изотопа характеризует скорость радиоактивного распада и определяется отно­шением числа dN ядер, распавшихся за интервал времени dt, к этому интервалу:

A = - dN / dt. (3.22)

Знак «-» показывает, что число N радиоактивных ядер с течением времени убывает. Для того чтобы найти dN / dt, воспользуемся законом радиоактивного распада:

N = N0 e- lt,

где N – число радиоактивных ядер, содержащихся в изотопе, в момент времени t; N0 – число радиоактивных ядер в момент времени, принятый за начальный (t = 0); l – постоянная радиоактивного распада.

Продифференцируем выражение (3.22) по времени:

dN / dt = - lN0 e- lt. (3.23)

Исключив из формул (3.22) и (3.23) dN / dt, находим актив­ность препарата в момент времени t:

А = lN0e-lt. (3.24)

Начальную активность A0 препарата получим при t = 0:

A0 = lN0. (3.25)

Постоянная радиоактивного распада l связана с пе­риодом полураспада Т½ соотношением

. (3.26)

Число N0 радиоактивных ядер, содержащихся в изо­топе, равно произведению постоянной Авогадро NA на количество вещества u данного изотопа:

, (3.27)

где m – масса изотопа; М – молярная масса.

С учетом выражений (3.26) и (3.27) формулы (3.25) и (3.24) принимают вид

; (3.28)

. (3.29)

Произведем вычисления, учитывая, что T½ = 10 мин = 600 с, ln2 = 0,639, t = 6 ч = 6.3,6.103 с = 2,16.104 с:

= 5,13.1012 Бк = 5,13 ТБк;

= 81,3 Бк.



Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



Сейчас читают про: