Свойства эмпирической функции распределения

Выборочный метод.

Математическая статистика.

Пусть для изучения количественного (дискретного, непрерывного) признака X из генеральной совокупности извлечена выборка х₁, х₂, …, х_n ( реализация величины выборки, n – объём выборки).

Наблюдающиеся значения признака называют вариантами, а последовательность значений признака, записанных в возрастающем порядке – вариационным рядом.

Статистическим распределением выборки называют перечень вариант х_i вариационного ряда и соответствующих им частот n_i илиотносительныхчастот w_i, приэтомсумма всех частот n_i равна объёму выборки n, а сумма всех относительных частот равна единице.

Статистическое распределение выборки можно задать в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот.

В качестве частоты интервалов принимают сумму частот вариант, попавших в этот интервал.

Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию F*(x), определяющую для каждого значения x относительную частоту события X<x:

F*(x)=n_x/n,

где n_x - число вариант, меньших x,

n – объём выборки.

Свойство 1.

Значение эмпирической функции распределения принадлежит отрезку [0, 1].

Свойство 2.

Эмпирическая функция распределения – неубывающая по своему аргументу функция.

Свойство 3.

Если x₁ – наименьшая варианта, а x_k – наибольшая варианта, то F*(x)= 0при x<x₁, F*(x)= 1при x> x_k.

При дискретном распределении признака X полигоном частот называют ломаную линию, отрезки которой соединяют точки:

(x_1, n₁), (x_1, n₂), …, (x_k, n_k),

где

х_i – варианта

n_i - частота, соответствующая варианте х_i.

Полигон относительных частот – ломаная линия, отрезки которой соединяют точки:

(x_1, w₁), (x_1, w₂), …, (x_k, w_i),

где

х_i – варианта

w_i - относительная частота, соответствующая варианте х_i.

При непрерывном распределении признака X весь интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивается на ряд частичных интервалов длины h и находится сумма частот вариант, попавших в i -ый интервал.

Гистограмма частот – ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которой служат частичные интервалы длины h, а высоты равны отношению n_i/h, которое называется плотностью частоты.

Площадь частичного i -того прямоугольника равна сумме частот вариант, попавших в i -тый интервал, а площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, то есть объёму выборки n.

Гистограмма относительныхчастот – ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины h, а высотами – отношения w/h.

Площадь частичного i -того прямоугольника гистограммы относительных частот равна сумме относительных частот вариант, попавших в i -тый интервал, а площадь гистограммы частот равна сумме всех относительных частот w_i, то есть равна единице.

Интервалы могут быть не равными. Тогда h_i*(w_i/h_i)=h_i, где h_i – длина i -того интервала.

При равных интервалах значение h принимают равным единице.