2015-04-01
1160
Оператором Лапласа называется такой оператор L, который каждой функции f (t)из рассматриваемого класса функций ставит в соответствие функцию
, (1)
где p -параметр (может быть комплексным).
Если несобственный интеграл в правой части равенства (1) сходится при соответствующих значениях параметра p, то полагают
,
при этом f (t) называется оригиналом, а функция 
- его лапласовым изображением. 
Говорят, что функция f(t) удовлетворяет условиям Хевисайда, если:
1) f (t)=0 для любого t < 0;
2) существуют вещественные числа A >0 и k≥ 0 такие, что при 
выполняется условие: 
.
Теорема (о достаточном условии существования лапласового изображения). Для того чтобы существовало лапласово изображение функции f (t), достаточно, чтобы функция f (t) удовлетворяла условиям Хевисайда и выполнялось неравенство
Re p > k.
Заметим, что оператор Лапласа L обладает свойством линейности:
1) 
2) 
Малая таблица лапласовых изображений
1) 
2) 
3) 
Теорема (о лапласовом изображении производной от функции). Пусть функции 
удовлетворяют условиям Хевисайда. Тогда справедлива формула:
,
(здесь 
).
