2015-04-01
2555
На практике часто сталкиваемся с ситуацией, когда результат опыта описывается несколькими случайными величинами. Например, при стрельбе по плоской мишени, отклонение от центра задается двумя случайными величинами: абсциссой и ординатой точки 
. Свойства системы не исчерпываются свойствами отдельных случайных величин, есть еще взаимные связи (зависимости) между случайными величинами. Для описания системы удобно использовать геометрическую интерпретацию: 
случайный вектор.
Закон распределения системы случайных величин – это соотношение, устанавливающее связь между областями возможных значений случайных величин и вероятностями появления случайного вектора в этих областях.
Определение. Функцией распределения случайного вектора или функцией совместного распределения случайных величин называется функция двух действительных переменных 
, определяемая соотношением:
.
Обозначим через:
- функцию распределения системы 
;
- функцию распределения случайной величины 
;
- функцию распределения случайной величины 
.
Функция распределения обладает следующими свойствами:
1. 
.
2. 
.
3. 
.
4. Функция - неубывающая функция по каждому из аргументов.
5. Функция непрерывна слева по каждому из аргументов.
Свойство 2 обычно называют условием согласованности. Оно означает, что функции распределения отдельных случайных величин могут быть найдены предельным переходом из функции совместного распределения этих величин.
Вероятность попадания случайного вектора в прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям, т.е. вероятность выполнения неравенств 
, может быть найдена с помощью функции распределения системы:
.
Определение. Случайный вектор называется вектором дискретного типа, если множество его значений, т.е. пар 
, конечное или счетное. Если перечислить всевозможные пары значений случайного вектора и сопоставить каждой паре вероятность 
, причем 
, то получим закон распределения дискретного случайного вектора.
Законы распределения случайных величин 
и выражаются через вероятности 
следующим образом:
Определение. Случайный вектор называется вектором непрерывного типа, если функция распределения непрерывна на всей плоскости, и существует такая неотрицательная, интегрируемая функция 
, называемая плотностью распределения системы, что
.
Свойства плотности распределения системы непрерывных случайных величин:
1. 
.
2. 
(условие нормировки).
3. Если 
- точка непрерывности , то 
.
4. Плотности распределения вероятностей отдельных компонент случайного вектора выражаются в виде интегралов от совместной плотности:
.
5. Вероятность попадания случайного вектора в произвольную квадрируемую область В на плоскости определяется по формуле:
.
