Закон распределения системы случайных величин

На практике часто сталкиваемся с ситуацией, когда результат опыта описывается несколькими случайными величинами. Например, при стрельбе по плоской мишени, отклонение от центра задается двумя случайными величинами: абсциссой и ординатой точки . Свойства системы не исчерпываются свойствами отдельных случайных величин, есть еще взаимные связи (зависимости) между случайными величинами. Для описания системы удобно использовать геометрическую интерпретацию: случайный вектор.

Закон распределения системы случайных величин – это соотношение, устанавливающее связь между областями возможных значений случайных величин и вероятностями появления случайного вектора в этих областях.

Определение. Функцией распределения случайного вектора или функцией совместного распределения случайных величин называется функция двух действительных переменных , определяемая соотношением:

.

Обозначим через:

- функцию распределения системы ;

- функцию распределения случайной величины ;

- функцию распределения случайной величины .

Функция распределения обладает следующими свойствами:

1. .

2. .

3. .

4. Функция - неубывающая функция по каждому из аргументов.

5. Функция непрерывна слева по каждому из аргументов.

Свойство 2 обычно называют условием согласованности. Оно означает, что функции распределения отдельных случайных величин могут быть найдены предельным переходом из функции совместного распределения этих величин.

Вероятность попадания случайного вектора в прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям, т.е. вероятность выполнения неравенств , может быть найдена с помощью функции распределения системы:

.

Определение. Случайный вектор называется вектором дискретного типа, если множество его значений, т.е. пар , конечное или счетное. Если перечислить всевозможные пары значений случайного вектора и сопоставить каждой паре вероятность , причем , то получим закон распределения дискретного случайного вектора.

Законы распределения случайных величин и выражаются через вероятности следующим образом:

Определение. Случайный вектор называется вектором непрерывного типа, если функция распределения непрерывна на всей плоскости, и существует такая неотрицательная, интегрируемая функция , называемая плотностью распределения системы, что

.

Свойства плотности распределения системы непрерывных случайных величин:

1. .

2. (условие нормировки).

3. Если - точка непрерывности , то .

4. Плотности распределения вероятностей отдельных компонент случайного вектора выражаются в виде интегралов от совместной плотности:

.

5. Вероятность попадания случайного вектора в произвольную квадрируемую область В на плоскости определяется по формуле:

.