double arrow
Задание 18. Исследование функции на экстремумы - 1ч

Цель: формирование умения находить промежутки возрастания и убывания функции, исследовать функцию на экстремум с помощью производной.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

&18.1. Вспомните определения точки экстремума и экстремума функции. Проанализируйте, в чем заключается их кардинальное отличие. Изучите достаточное условие существования экстремума (критерий нахождения точек экстремума) функции.

&18.2. Постарайтесь освоить алгоритм, позволяющий находить экстремумы функции.

?18.3. Найдите промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции:

а) ; б) .

¶ 18.4. Определите, при каком значении a функция имеет экстремум в точке . Выясните, будет ли в этом случае данная точка являться точкой максимума или точкой минимума функции.

Методические указания по выполнению работы:

Для успешного решения задач необходимо знание следующего теоретического материала:

По теореме Ферма (необходимое условие существования экстремума функции), точки экстремума нужно искать среди критических точек. Но не любая критическая точка является точкой экстремума функции. Чтобы выяснить, в каких критических точках функция имеет экстремум, рассмотрим достаточные условия существования экстремума.

Достаточные условия существования экстремума (критерий нахождения точек экстремума):пусть функция непрерывна и дифференцируема в некоторой окрестности точки хо. Тогда:

1. если производная при переходе через точку хо меняет знак с плюса на минус, то точка хо является точкой максимума;




2. если производная при переходе через точку хо меняет знак с минуса на плюс, то точка хо является точкой минимума.

Критерий нахождения точек экстремума функции удобно представляется в виде схемы:

хокритическая точка: f`(xо)=0 или f`(xо) не существует
хоточка минимума   хо
хо

хоточка максимума   хо
хо

Для нахождения экстремумов функции используется следующий алгоритм:

1. Найдите область определения функции.

2. Найдите первую производную функции.

3. Определите критические точки первого рода (f'(xo)=0 или f'(xo) не существует).

4. На числовой оси отметьте критические точки и определите знаки производной на каждом из получившихся интервалов.

5. Выпишите точки экстремума функции (если они есть), используя соответствующие критерии, вычислите значения функции в точках экстремума.



Пример 1. Найдите экстремумы функции .

Решение. Воспользуемся решением примера 1 из задания 17. На 4-м шаге мы получили:

т.min
т.max
х
+
+

5. Согласно критерию нахождения точек экстремума х=1 – точка максимума, х=5 – точка минимума. Для нахождения экстремумов вычислим значения функции в этих точках:

= = = - максимум функции;

= = = = = - минимум функции.

Ответ: х=1 – точка максимума; = = ;

х=5 – точка минимума; = = .

Пример 2. Найдите экстремумы функции .

Решение. Воспользуемся решением примера 2 из задания 17. На 4-м шаге мы получили:

т.min
т.max
-2
х
+
+

5. Согласно критерию нахождения точек экстремума х=-2 – точка максимума, х=0 – точка минимума. Для нахождения экстремумов вычислим значения функции в этих точках:

= = - максимум функции;

= - минимум функции.

Ответ: х=-2 – точка максимума; = = ;

х=5 – точка минимума; = .

Список литературы:

1. Григорьев В.П. Элементы высшей математики: Учеб. для студ. учреждений СПО / В.П.Григорьев, Ю.А.Дубинский - М.: Издательский центр "Академия", 2012. – 320с. – Глава 6, §6.7, стр. 138 – 141.

2. Валуцэ И.И. Математика для техникумов на базе средней школы: Учебное пособие. / И.И. Валуцэ, Г.Д. Дилигул.– 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Наука, 1989. – 576 с. – Глава 7, § 38-39, стр. 220-226.

3. Лисичкин В.Т. Математика: учеб. пособие для техникумов / В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик. – М.: Высш. школа, 1991. – 480 с. – Глава 4, §7, стр. 255– 265.






Сейчас читают про: