Цель: формирование умения находить асимптоты графика функции.
Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:
& 20.1.Запомните основные виды асимптот графика функции.Проанализируйте, в каких случаях график функции имеет вертикальную асимптоту, в каких - горизонтальную или наклонную.
& 20.2.Детально изучите и постарайтесь освоить алгоритм, позволяющий находить асимптоты графика функции.
?20.3. Найдите асимптоты графика функции:
а) ; б) ; в) ; г) .
¶ 20.4. Найдите асимптоты графика функции:
а) ; б) .
Методические указания по выполнению работы:
Для успешного решения задач необходимо знание следующего теоретического материала:
Поиск асимптот является одним из важных этапов построения графиков функций.
Асимптоты бывают трех видов: вертикальная, горизонтальная и наклонная.
1. Прямая х=а называется вертикальной асимптотой функции , если .
2. Прямая у=с называется горизонтальной асимптотой функции , если .
3. Прямая у=kx+b называется наклонной асимптотой функции , если .
На чертеже асимптоты принято обозначать пунктирными линиями.
|
|
Рассмотрим следующий искусственно составленный график функции (рис.1), на примере которого хорошо видны все виды асимптот:
х |
у |
0 |
а |
у=f(x) |
c |
х=а |
у=c |
у=kx+b |
Рис. 1 |
х=а – вертикальная асимптота |
у=c – горизонтальная асимптота |
у=kx+b – наклонная асимптота |
Горизонтальные и наклонные асимптоты рассматриваются только при условии →∞. Иногда их различают на горизонтальные и наклонные асимптоты при →+∞ и →-∞.
Для поиска асимптот удобно использовать следующий алгоритм:
- Для поиска вертикальных асимптот находим точки, не принадлежащие области определения (х=а) и проверяем следующее условие: если , то х=а – вертикальная асимптота.
Вертикальных асимптот может быть одна, несколько или не быть совсем.
- Для поиска горизонтальных асимптот находим .
- Если с – число, то у=с – горизонтальная асимптота;
- Если с – бесконечность, то горизонтальных асимптот нет.
- Для поиска наклонных асимптот находим .
- Если k – число, отличное от 0, то находим . Тогда у=kx+b – наклонная асимптота;
- Если k – бесконечность, то наклонных асимптот нет.
Если функция представляет собой отношение двух многочленов, то при наличии у функции горизонтальных асимптот наклонные асимптоты искать не будем – их нет.
Рассмотрим примеры нахождения асимптот функции:
Пример 1. Найдите асимптоты графика функции .
Решение. 1. Найдем область определения функции: х -1≠0; х ≠1.
Проверим, является ли прямая х= 1 вертикальной асимптотой. Для этого вычислим предел функции в точке х= 1: .
Получили, что , следовательно, х= 1 - вертикальная асимптота.
|
|
2. Для поиска горизонтальных асимптот находим : с = .
Поскольку в пределе фигурирует неопределенность , воспользуемся правилом Лопиталя: с = = . Т.к. с =2 (число), то у=2 – горизонтальная асимптота.
Так как функция представляет собой отношение многочленов, то при наличии горизонтальных асимптот утверждаем, что наклонных асимптот нет.
Таким образом, данная функция имеет вертикальную асимптоту х= 1 и горизонтальную асимптоту у=2.
Ответ: графикфункции имеет вертикальную асимптоту х= 1 и горизонтальную асимптоту у=2.
Пример 2. Найдите асимптоты графика функции .
Решение. 1. Найдем область определения функции: х -2≠0; х ≠2.
Проверим, является ли прямая х= 2 вертикальной асимптотой. Для этого вычислим предел функции в точке х= 2: .
Получили, что , следовательно, х= 2 - вертикальная асимптота.
2. Для поиска горизонтальных асимптот находим : с = .
Поскольку в пределе фигурирует неопределенность , воспользуемся правилом Лопиталя: с = = . Т.к. с – бесконечность, то горизонтальных асимптот нет.
3. Для поиска наклонных асимптот находим :
= = = .
Получили неопределенность вида , воспользуемся правилом Лопиталя: = =1.Итак, 1. Найдем b по формуле: .
b= = =
= = .
Получили, что b= 2. Тогда у=kx+b – наклонная асимптота. В нашем случае она имеет вид: у=x+2.
Ответ: график функции имеет вертикальную асимптоту х= 2 и наклонную асимптоту у=x+2.
Список литературы:
1. Григорьев В.П. Элементы высшей математики: Учеб. для студ. учреждений СПО / В.П.Григорьев, Ю.А.Дубинский - М.: Издательский центр "Академия", 2012. – 320с. – Глава 6, §6.9, стр. 144 – 146.
2. Валуцэ И.И. Математика для техникумов на базе средней школы: Учебное пособие. / И.И. Валуцэ, Г.Д. Дилигул.– 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Наука, 1989. – 576 с. – Глава 7, § 41, стр. 231-232.