Цель: формирование умения проводить полное исследование функции и стоить её график.
Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:
?21.1.Выполните домашнюю контрольную работу №1.
Проведите полное исследование функции и постройте её график.
Вариант | Функция | Вариант | Функция | ||
Методические указания по выполнению работы:
При исследовании функции используйте следующую схему:
1. Найдите область определения функции (если функция представляет собой дробь, то знаменатель дроби должен быть отличен от нуля).
2. Исследуйте функцию на четность-нечетность:
· если , то функция четная (график четной функции симметричен относительно оси Оу);
· если , то функция нечетная (график нечетной функции симметричен относительно начала координат);
· в противном случае функция ни четная, ни нечетная.
|
|
3. Исследуйте функцию на периодичность (среди изучаемых нами функций периодическими могут быть только тригонометрические функции).
4. Найдите точки пересечения графика функции с осями координат:
· Ох: у =0 (решаем уравнение лишь в том случае, если можем использовать известные нам методы);
· Оу: х =0.
5. Найдите первую производную функции и критические точки ( или не существует).
6. Найдите интервалы монотонности, точки экстремума и экстремумы функции.
7. Найдите вторую производную функции и критические точки ( или не существует).
8. Найдите интервалы выпуклости, вогнутости графика функции, точки перегиба.
9. Найдите асимптоты графика функции.
10. Постройте график функции. Для этого задайте систему координат и выполните следующие действия:
· отметьте точки экстремума и экстремумы функции (найдены в п.6), причем рекомендуется прямо на чертеже обозначить поведение графика функции в окрестности этих точек дугами: k или ;
· отметьте точки перегиба (найдены в п.8);
· отметьте точки пересечения графика функции с осями координат (найдены в п.4);
· постройте асимптоты графика функции пунктирными линиями (найдены в п.9);
· пользуясь полученными данными о промежутках возрастания, убывания, выпуклости и вогнутости, постройте график функции с учётом его поведения вблизи асимптот:
вертикальной | горизонтальной | наклонной | ||||
|
|
· проверьте, соответствует ли график функции результатам проведенного исследования.
11. Выберите контрольные точки вблизи точек экстремума, найдите соответствующие значения у, проверьте правильность построения графика.
|
|
Если при выполнении домашней контрольной работы возникают вопросы, разберите решение аналогичного примера 1: Постройте график функции .
Решение. 1. Данная функция определена на всей числовой прямой за исключением х =3, т.к. в этой точке знаменатель обращается в ноль.
2. Для определения четности и нечетности функции найдем :
= = . Видим, что и , следовательно, функция ни четная, ни нечетная.
3. Функция непериодическая.
4. Найдем точки пересечения с осями координат. Для нахождения точки пересечения с осью Ох примем у =0. Получим уравнение: . Итак, точка (0; 0) – точка пересечения с осями координат.
5. Найдем производную функции по правилу дифференцирования дроби: = = = = .
Для нахождения критических точек первого рода найдем точки, в которых производная функции равна 0 или не существует.
, если =0, следовательно, . Произведение тогда равно 0, когда хотя бы один из множителей равен 0: или .
не существует, если знаменатель (х -3)2 равен 0, т.е. не существует при х =3.
Итак, функция имеет три критические точки первого рода: ; ; .
6. На числовой оси отметим критические точки первого рода, причем точку отмечаем выколотой точкой, т.к. в ней функция не определена.
Расставляем знаки производной = на каждом промежутке:
т.min |
т.max |
х |
+ |
+ |
- |
- |
На промежутках, где , исходная функция возрастает (при (-∞;0] ), где - убывает (при [0;3) (3;6]).
Точка х =0 является точкой максимума функции. Для нахождения максимума функции найдем значение функции в точке 0: .
Точка х =6 является точкой минимума функции. Для нахождения минимума функции найдем значение функции в точке 6: .
7. Найдем вторую производнуюфункции как производную от первой производной: = =
= .
Вынесем в числителе х -3 за скобки и выполним сокращение:
= .
Приведем в числителе подобные слагаемые: .
Найдем критические точки второго рода: точки, в которых вторая производная функции равна нулю или не существует.
0, если =0. Данная дробь не может равняться нулю, следовательно, точек, в которых вторая производная функции равна нулю, нет.
не существует, если знаменатель (х -3)3 равен 0, т.е. не существует при х =3.
Итак, функция имеет одну критическую точку второго рода: .
8. Найдем интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции.
На числовой оси отметим критическую точку второго рода выколотой точкой, т.к. в ней функция не определена.
Расставляем знаки второй производной на каждом промежутке:
х |
+ |
- |
вып. |
вогн. |
На промежутках, где , исходная функция вогнута (при (3;+∞)), где - выпукла (при (-∞;3)).
Точка х =3 не является точкой перегиба графика функции, т.к. в ней исходная функция не определена.
9. Найдем асимптоты графика функции.
9.1. Поскольку область определения функции – все действительные числа за исключением х =3, то проверим, является ли прямая х= 3 вертикальной асимптотой. Для этого вычислим предел функции в точке х= 3: .
Получили, что , следовательно, х= 3 - вертикальная асимптота.
9.2. Для поиска горизонтальных асимптот находим : с = .
Поскольку в пределе фигурирует неопределенность , воспользуемся правилом Лопиталя: с = = . Т.к. с – бесконечность, то горизонтальных асимптот нет.
9.3. Для поиска наклонных асимптот находим :
= = =1.
Итак, 1. Найдем b по формуле: .
b= = = = .
Получили, что b= 3. Тогда у=kx+b – наклонная асимптота. В нашем случае она имеет вид: у=x+3.
Таким образом, данная функция имеет вертикальную асимптоту х= 3 и наклонную асимптоту у=x+3.
1 |
х |
у |
0 |
1 |
у=х+3 |
х=3 |
6 |
12 |
3 |
|
|
· отметим экстремальные точки: (0;0) – вершина дуги k, (6;12) – вершина дуги ;
· проведём асимптоты графика функции: х = 3 и у = x+3 пунктирными линиями;
· пользуясь полученными данными о промежутках возрастания, убывания, выпуклости и вогнутости, построим график функции.
11. Для более точного построения можно выбрать несколько контрольных точек. Например, найдем значения функции в точках -2 и 7:
; .
Корректируем график функции с учетом контрольных точек.
Список литературы:
1. Григорьев В.П. Элементы высшей математики: Учеб. для студ. учреждений СПО / В.П.Григорьев, Ю.А.Дубинский - М.: Издательский центр "Академия", 2012. – 320с. – Глава 6, §6.9, стр. 146 – 148.
2. Валуцэ И.И. Математика для техникумов на базе средней школы: Учебное пособие. / И.И. Валуцэ, Г.Д. Дилигул.– 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Наука, 1989. – 576 с. – Глава 7, §42, стр. 232-236.
3. Лисичкин В.Т. Математика: учеб. пособие для техникумов / В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик. – М.: Высш. школа, 1991. – 480 с. – Глава 4, §7, стр. 278 – 286.