Преобразование аналог—цифра. Шумы квантования

Погрешности преобразования входного сигнала из аналоговой формы в цифровую возникает при квантовании сигнала на конечное, ограниченное число уровней. Чтобы выявить характер этой погрешности приведем структурную схему (рис.1.10) и выделим из нее два устройства: аналогово-цифровой преобразователь (АЦП) и цифро-аналоговый преобразователь (ЦАП).

Рис.1.10. Функциональная схема преобразования аналог-цифра и обратно – цифра-аналог

Рассмотрим сначала совместную работу этих устройств без учета цифрового фильтра при подаче на вход АЦП постоянного напряжения различного уровня u₁ (рис. 1.11, а).

Рис. 1.11 Преобразование аналог-цифра и цифра-аналог (а), характеристика квантования (б) и ошибка квантования (в)

Основным параметром АЦП является число разрядов, используемых для кодирования входного напряжения. При двоичном коде число разрядов определяется числом триггеров регистра, каждый из которых может находиться в одном из двух состояний: с нулевым или ненулевым напряжением на выходе. Одному из этих состояний условно приписывается нуль, а другому — единица. При числе двоичных элементов r на выходе АЦП получается комбинация (кодовое число) из r символов, каждый из которых может принимать одно из двух значений (нуль или единица).

Число возможных различных комбинаций L= 2^r и определяет число дискретных уровней, на которое может быть разбит диапазон изменения входного напряжения.

В ЦАП осуществляется обратное преобразование. Каждой комбинации нулей и единиц, поступающих на вход ЦАП, соответствует определенный дискретный уровень выходного напряжения. В результате при равномерном шаге квантования А зависимость u₂ от u₁ приобретает вид ломаной линии, показанной на рис. 1.11, б.

Устройство, обладающее подобной характеристикой, должно рассматриваться как нелинейное, а разность u₂-u₁=q — как ошибка, погрешность квантования. Видно, что наибольшая ошибка, по абсолютной величине не превышающая Δ/2, с возрастанием u₂ остается неизменной (рис. 1.11, в).

Предположим, что входное колебание s(t) является гармоническим (рис. 1.12, а). Колебание s_выx (t) приобретает ступенчатую форму, отличающуюся от входного колебания s (t) (рис. 1.12, б, тонкая линия), а ошибка квантования принимает вид функции

(1.23)

представленной на рис. 1.12, в.

Рис 1.12. Сигнал на входе (а) и выходе (б) квантующего устройства; помеха квантования

При изменении в широких пределах амплитуды и частоты гармонического колебания s(t) изменяется только частота следования зубцов: форма их остается близкой к треугольной при неизменной амплитуде Δ/2. Функцию q (t) можно назвать помехой или шумом квантования. Нетрудно вычислить среднюю мощность шума квантования. При допущении треугольной формы зубцов (рис. 1.11, в) с амплитудой Δ/2 средняя длительность одного зубца мощность равна (1/3) (Δ/2)² = Δ²/12. Так как эта величина не зависит от длительности зубца, можно считать, что средняя мощность шума квантования

. (1.24)

Этот результат, выведенный для гармонического сигнала, можно распространить и на любой другой сигнал, в том числе и случайный. Отличие лишь в том, что функция q (t) будет случайным процессом из-за случайной длительности зубцов.

Нетрудно вычислить и отношение сигнал/помеха при квантовании. При высоте ступени Δ и общем числе ступеней, укладывающихся в пределах характеристики АЦП, равном L, амплитуда гармонического сигнала не должна превышать величины LΔ/2, а средняя мощность сигнала — величины 1/2(LΔ/2)² (во избежание ограничения сигнала). Следовательно, отношение сигнал/помеха при квантовании гармонического колебания

. (1.25)

Так как число уровней L связано с числом двоичных разрядов r соотношением L = 2^r, то последнее выражение можно представить в виде

. (1.26)

Это соотношение можно рассматривать как частный случай общего выражения

, (1.27)

где K_пф — пик фактор сигнала, т. е. отношение максимального значения к среднеквадратическому.

При гармоническом колебании , что и приводит к выражению (1.26); при случайном сигнале с нормальным законом распределения K_пф может быть принят 2,5—3. В этом случае , a среднеквадратическое напряжение сигнала не должно превышать ~LΔ/6.

Физический смысл выражения (1.27) очевиден: с увеличением числа разрядов r очень быстро возрастает число дискретных уровней, приходящихся на заданный диапазон изменения s(t), и, следовательно, снижается перепад Δ двух соседних уровней.

При грубой оценке превышения сигнала над шумом квантования исходят из соотношения или, в децибелах:

. (1.28)

В современных АЦП число разрядов достигает десяти и более. При этом величина , характеризующая динамический дапазон АЦП, равна примерно 60 д Б (6 д Б на один разряд).

Другой важной характеристикой шума квантования является его спектральная характеристика. При гармоническом колебании на входе АЦП помеха квантования является периодической функцией времени. Спектр ее является линейчатым, содержащим только частоты, кратные частоте входного колебания. Из-за зубчатой формы функции q (t) (см. рис. 1.12, в) спектр шума содержит высшие гармоники.

При входном воздействии типа случайного процесса с дисперсией и со среднеквадратической шириной спектра f_SCK статистические характеристика шума квантования зависят не только от характеристик исходного процесса s(t), но и от соотношения между и Δ. В частности, при ширина f_{q CK} спектра шума квантования W_q(ω) во много раз больше ширины f_{S CK} спектра процесса s (t).

Введем в рассмотрение дискретизацию входного сигнала. На рис. 1.13 представлены одна из реализаций случайного сигнала s(t) и совокупность выборок, взятых с шагом Т. В АЦП каждая выборка преобразуется в цифровой код.

Рис. 1.13. К определению ошибки квантования

Из предыдущих рассуждений ясно, что преобразование осуществляется с ошибкой, заключенной в пределах . Если выборки берутся из случайного сигнала, а изменение функции s(t) за время Т превышает Δ или тем более несколько Δ, то ошибки в различные отсчетные моменты времени nТ и (n + 1) Т можно считать взаимно независимыми и равновероятными. Дисперсия случайной величины q, равновероятной в интервале (-Δ /2, Δ /2) равна (1/3) (Δ /2)². Этот результат совпадает с выражением, полученным усреднением мощности шума квантования по времени. Сделанные выше допущения равносильны утверждению, что дискретная последовательность ошибок q (nТ) соответствует выборкам из некоррелированного шума, т. е. шума с равномерным спектром. Этот спектр, как отмечалось выше, во много раз шире спектра исходного случайного процесса s(t). В связи с этим шум квантования обычно рассматривают как белый шум, аддитивный по отношению к s(t). Так как квантование осуществляется на входе цифрового фильтра, то шум квантования можно трактовать как собственный шум цифрового фильтра (отнесенный к его входу).

Определим спектр шума квантования. Пусть полная ширина спектра шума квантования в отсутствие дискретизации равна f_qcк. При дискретизации шума квантования с шагом Т — 1/f₁ результирующий спектр является суммой парциальных спектров, сдвинутых один относительно другого на ω = 2π/Т. Особенностью рассматриваемого случая является то, что , так что имеет место многократное перекрытие спектров.

В пределах частотного интервала (0,f₁) мощность каждого отдельного спектра . Но число перекрашивающих спектров равно f_qcк. Результирующая мощность квантования в полосе (0,f₁) будет . Можно поэтому считать, что в указанном частотном интервале спектр равномерен (белый шум) и равен

(1.29)

При АЧХ цифрового фильтра K_T(ω), спектр шума квантования на выходе фильтра

(1.30)

а средняя мощность (дисперсия)

(1.31)

Пример. Определим основные параметры шума квантования на выходе режекторного фильтра второго порядка, при следующих данных число разрядов квантования r = 8; раствор характеристики АЦП =10 В; шаг дискретизации Т=1/f_l =1 мс; f₁ = 1000 Гц.

1. Определим число уровней

2. Найдем шаг квантования

3. Дисперсия шума на входе

,

Основываясь на том, что АЧХ цифрового фильтра , находим:

Применяя формулу (1.31), получаем

Итак, уровень собственных шумов квантования на выходе рассматриваемого фильтра равен 26 мВ.

Форма спектра этого шума повторяет форму квадрата АЧХ:

В заключение укажем на требования, предъявляемые к АЦП в зависимости от скорости изменения входного сигнала s(t). Длительность выборки τ₀ задается малой, чтобы изменение s(t) за время τ ₀ было пренебрежимо мало. Во всяком случае, это изменение должно быть меньше Δ. В современных АЦП τ ₀ уменьшают до единиц наносекунд.

Электронный ключ, с помощью которого берутся из сигнала s(t) выборки, имеет RС-цепь для запоминания уровня выборки на время, необходимое для срабатывания АЦП. В быстродействующих АЦП это время составляет десятки наносекунд.