Системы показательных и логарифмических уравнений

Пример 9.16. Решить систему

Решение. Область определения системы описывается условиями:

Сделаем в первом уравнении системы замену , , тогда получим

,

или, переходя к исходным переменным,

.

Подставим полученное выражение для неизвестной во второе уравнение системы:

,

откуда

Соответствующие ; . Проверкой убеждаемся, что пара не входит в область определения системы, то есть является посторонним решением.

Ответ: .

Пример 9.17. Решить систему

Решение. Область определения системы:

Используя свойства логарифмов, преобразуем исходную систему:

Делая проверку, получаем, что - постороннее решение.

Ответ: .

Пример 9.18. Решить систему

Решение.

Ответ: .

Пример 9.19. Решить систему

Решение. Область определения системы , . Прологарифмируем первое и второе уравнения системы по основанию и проведем преобразования системы на ОДЗ:

1) 2)

Ответ: .

Пример 9.20. Решить систему

Решение. Область определения системы . Преобразуем исходную систему: откуда, учитывая, что ,

прологарифмируем первое уравнение системы по основанию 6 и потенцируем второе, тогда

1) 2)

Ответ: .

Пример 9.21. Решить систему

Решение. Область определения системы Проведем преобразования системы на ОДЗ:

Рассмотрим второе уравнение системы. Введем замену: , , тогда

делая обратную замену, имеем

,

или в итоге . Так как , преобразуем выражения для области определения системы

Следовательно, решениями являются и .

Ответ: .