Задачи. 6.1 Найти матрицу преобразования, включающую вначале поворот на 900 вокруг оси Oz, а затем инверсию

6.1 Найти матрицу преобразования, включающую вначале поворот на 90⁰ вокруг оси Oz, а затем инверсию.

Решение задачи 6.1 Искомая матрица преобразования строится как произведение двух матриц: и .

Правая матрица определяет преобразование системы координат при повороте вокруг оси OZ на угол . (См решение задачи 2.2.3). Левая матрица –

определяет преобразование системы координат при инверсии. Найдем их произведение для конкретного значения угла поворота ,

6.2 Как преобразуются компоненты псевдовектора при инверсии?

Решение задачи 6.2 При инверсии системы координат компоненты псевдовектора преобразуются по закону , где . Учитывая, что определитель матрицы равен –1, получим

. При инверсии системы координат компоненты псевдовекторов не изменяются (в отличие от векторов, компоненты которых изменят знак).

6.3 Даны: истинный вектор и - псевдовектор. Чем является их векторное произведение - вектором или псевдовектором?

6.4 Даны: , и - истинные векторы. Что представляет собой их смешанное произведение ?

6.5 Даны: и - истинные векторы, - псевдотензор Леви-Чивита. Что представляет собой многокомпонентная величина ? Почему? Какие операции производятся при получении этой величины?

Решение задачи 6.5 В результате выполнения свертки по двум парам индексов j,k внешнего произведения псевдотензора 3-го ранга и тензора 2-го ранга должен получиться псевдотензор 1-го ранга (псевдовектор). Убедимся в этом. Выполним такую свертку в иной декартовой координационной системе . Мы воспользовались

законами преобразования компонент символа Леви-Чивита и векторов. Учтем ортогональность матрицы преобразования , , и просуммируем по индексам j,k. В результате получим:

Данное выражение можно записать более компактно как , где . Что и подтверждает законность операций внешнего произведения и свертки, в результате которых получается псевдотензор 1-го ранга .

6.6 Даны: - псевдовектор, - псевдотензор Леви-Чивита. Что представляет собой многокомпонентная величина ? Почему?

6.7 Даны: - истинный вектор, - псевдовектор. Что представляет собой величина ? Почему?

7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА.

Закон преобразования компонент радиус-вектора при ортогональном преобразовании декартовой системы координат имеет тот же вид, что и закон преобразования любого вектора (см. раздел 2):

Рассмотрим новые координаты как функции координат

(т.е. ), мы видим, что:

Матрица обратного преобразования определяется матричными элементами:

Поскольку матрица ортогональна, то

таким образом, в случае ортогональных преобразований:

Теперь можно строго доказать, что частные производные скалярного поля в каждой точке пространства являются компонентами векторного поля . Компоненты градиента в новой системе координат равны: . При этом .

Переходя от новых координат , к исходным координатам получаем:

Итак, мы видим, что величины: в самом деле, преобразуются по закону преобразования векторных величин.

Аналогично доказывается, что многокомпонентные величины и , где - компоненты векторного поля, являются тензорами второго

ранга. Тензор второго ранга в общем случае не является ни симметричным, ни антисимметричным тензором. Его, однако, можно представить в виде суммы симметричного и антисимметричного тензоров:

Антисимметричный тензор второго ранга имеет три отличные от нуля компоненты. Вследствие этого бывает удобно вместо тензора ввести псевдовектор, определенный равенством: .