Задачи. 4.1 Разложить в двумерном случае тензор второго ранга на сумму симметричного и антисимметричного тензоров

4.1 Разложить в двумерном случае тензор второго ранга на сумму симметричного и антисимметричного тензоров. Компоненты тензора равны:

4.1.1

4.1.2

4.1.3

4.1.4

4.1.5

4.1.6

4.2 Разложить тензор второго ранга на сумму симметричного и антисимметричного тензоров, где равны

4.2.1 4.2.2

4.2.3 4.2.4

Решение задачи 4.2.1. Используем для данного разложения формулы: и . Непосредственное вычисление компонент симметричного и антисимметричного тензоров дает: , , и т.д.

, , и т.д.

Ответ: ,

4.3 Для симметричного тензора на плоскости:

4.3.1 Найти собственные значения.

4.3.2 Найти собственные векторы.

4.3.3 Проверить ортогональность собственных векторов.

4.3.4 Найти орты системы координат, связанной с главными осями.

4.3.5 Записать матрицу поворота к главным осям.

4.3.6 Записать вид тензора в главных осях.

4.3.7 Построить характеристическую поверхность.

Произвести вычисления для тензоров с компонентами:

а)

б)

в)

г)

4.4 Разложить тензор на сумму симметричного и антисимметричного тензоров. Для симметричного тензора :

4.4.1 Найти собственные значения.

4.4.2 Найти собственные векторы.

4.4.3 Проверить ортогональность собственных векторов

4.4.4 Найти орты системы координат, связанной с главными осями.

4.4.5 Записать матрицу поворота к главным осям.

4.4.6 Записать вид тензора в главных осях.

4.4.7 Классифицировать тензор (шаровой, симметрический, асимметрический, положительно, отрицательно определенный или знаконеопределенный).

Произвести вычисления для тензоров с компонентами:

a) б)

в) г)

Решение задачи 4.4.1(а) Симметричная часть указанного тензора

. Составим уравнение

Раскрыв определитель, получим . Нахождение корней этого уравнения , , решает поставленную задачу.

Решение задачи 4.4.2(а) Проведем вычисление компонент собственного вектора, принадлежащего собственному значению . Для этого следует решить уравнение . Подставив , распишем его как систему трех линейных уравнений . Отсюда следует, что , . (Здесь - любое вещественное число, не равное нулю)

Аналогично, для находим , . И, наконец, для компоненты собственного вектора , .

Решение задачи 4.4.4(а) Используем найденные выше три собственных вектора , , , принадлежащих соответственно собственным значениям 2, 5, 10. Орты системы координат, связанной с главными осями тензора, по определению, это собственные векторы с модулями, равными единице. Очевидно, что при , , собственные векторы имеют единичные модули. Поэтому, искомые орты имеют вид: , ,

Решение задачи 4.4.5(а) Искомая матрица поворота , здесь -орты системы главных осей тензора, -орты системы координат, в которой заданы компоненты тензора. Учитывая, что , , вычислим все возможные скалярные произведения . В итоге мы

получим матрицу поворота , по строкам которой расположены компоненты орт системы главных осей тензора. Как у любой матрицы поворота ее определитель равен 1. В ряде случаев возможен результат (–1). Тогда, для построения матрицы поворота требуется дополнительно изменить направление одного из орт.

Решение задачи 4.4.6(а) Выполним поворот в систему главных осей тензора. Его компоненты в повернутой системе координат вычисляются как матричное произведение . Воспользуемся матрицей поворота, найденной в ходе решения предыдущей задачи, и вычислим матричное произведение