Символ Леви-Чивита

В трехмерном пространстве символ Леви-Чивита есть полностью антисимметричная многокомпонентная величина, меняющая знак при

перестановке любой пары индексов. Все компоненты символа Леви-Чивита, имеющие два или три одинаковых индекса, равны нулю. Например, . Компонента выбирается равной 1. Тогда все компоненты, отличные от нуля, равны:

Символ Леви-Чивита не меняет своего значения при циклической перестановке индексов:

Символ Леви-Чивита можно также определить как смешанное произведение ортов правой координационной тройки:

Задание. Убедиться, что векторное произведение двух векторов и может быть записано в виде:

Задание. Убедиться, что ротор векторной величины может быть записан в виде:

Для произведения двух символов Леви-Чивита с последующей сверткой по одному индексу в каждом символе имеет место следующая формула:

Задание. Проверить предыдущее равенство для конкретных значений индексов j,k,l,m.

Для решения ряда нижеследующих задач необходимо учесть тождества: