Задачи. 7.1. Доказать, что многокомпонентная величина является симметричным тензором второго ранга

7.1. Доказать, что многокомпонентная величина является симметричным тензором второго ранга.

7.2. Дан вектор . Доказать, что многокомпонентная величина является тензором второго ранга.

7.3 Показать, что , здесь .

7.4 Доказать, что тензор девиации имеет нулевой след: .

Решение задачи 7.4 Свернем тензор девиации

по индексам i,j. Учитывая, что величина свертки единичного тензора ,

получим .

7.5 Векторное поле имеет компоненты: . Найти компоненты тензора девиации

Решение задачи 7.5 Вычислим значения всех частных производных . Получим: , , , , , , , , . С учетом значения величины

свертки , найдем компоненты тензора девиации

.

7.6 Задано векторное поле в двумерном пространстве: . Найти компоненты тензора девиации в точках: a) x=1, y=2; b) x=0, y=1. Найти собственные значения и собственные векторы тензора девиации в этих точках.

Решение задачи 7.6 В двумерном пространстве тензор девиации имеет вид:

. Индексы i,j в данном случае принимают значения только 1 и 2. След единичного тензора , отсюда следует что . Вычислим значения всех частных производных . Получим: , , , . Свертка .

Компоненты тензора девиации . В точке с координатами компоненты , . Собственные значения данного тензора находим как корни уравнения , или , отсюда .

Подставив поочередно найденные собственные значения в уравнение, определяющее компоненты собственных векторов, , найдем . Собственные векторы находятся с точностью до общего множителя, поэтому можно задать значение компоненты , что дает значение компоненты . Итого, векторы с компонентами

являются собственными векторами тензора девиации в заданной точке двумерного пространства и принадлежат собственным значениям , соответственно.

7.7 Доказать обобщенную теорему Остроградского-Гаусса для тензорного поля N-го ранга.

Указание: Умножить обе части равенства (7.1) на произвольный постоянный

тензор ранга (N-1) и выполнить свертку по индексам .

ЛИТЕРАТУРА

1. И.В.Савельев. Основы теоретической физики. Т.1.- М.: Наука, 1975.

2. Савельев И.В. Курс обшей физики, т. 2. - М.: Наука, 1988.

3. В.В.Батыгин, И.Н.Топтыгин. Сборник задач по электродинамике.-

М.: Наука, 1970.

4. А.И.Борисенко, И.Е.Тарапов. Векторный анализ и начала тензорного

исчисления.- Харьков: Вища школа, 1986.

5. П.К. Рашевский. Риманова геометрия и тензорный анализ - М.: Наука, 1967.