Задачи

5.1 Вычислить:

5.1.1 5.1.2

5.1.3 5.1.4

5.1.5 5.1.6

5.1.7 5.1.8

Решение задачи 5.1.5. Используем формулу для свертки: . Положим далее значение индекса и выполним свертку по паре индексов . . Здесь использовано, что и .

5.2 Записать формулу для смешанного произведения трех векторов , использую символ Леви-Чивита.

5.3 Получить формулу преобразования двойного векторного произведения , используя символ Леви-Чивита.

Решение задачи 5.3. Запишем выражение для -ой компоненты двойного векторного произведения как свертку . С учетом, что , получим . Далее,

. Или, что

эквивалентно .

5.4 Преобразовать выражения, используя символ Леви-Чивита.

5.4.1 5.4.2

5.4.3 5.4.4

5.4.5 5.4.6

5.4.7 5.4.8

5.4.9 5.4.10

5.4.11

Решение задачи 5.4.6. Воспользуемся выражением для ротора

.

В силу определения , или , отсюда следует что и . Итого:

5.5 Вычислить, используя символ Леви-Чивита:

5.5.1 , где и - постоянные векторы.

5.5.2 , где - постоянный вектор.

5.5.3 , где - постоянный вектор.

5.5.4

5.5.5

5.5.6 , где и - постоянные векторы.

5.6 Показать, что определитель матрицы можно записать в виде

.