Ранг матрицы. Определение 15.Пусть в матрице размера (mxn) выбраны произвольно k строк и k столбцов (k Элементы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов

Определение 15. Пусть в матрице размера (mxn) выбраны произвольно k строк и k столбцов (k Элементы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу порядка k, определитель которой называется минором k-го порядка матрицы А.

Определение 16. Максимальный порядок отличных от нуля миноров матрицы А называется её рангом.

Определение 17. Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие:

1. Перестановка местами двух строк;

2. Поэлементное умножение строки на не равное нулю число;

3. Поэлементное прибавление одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на произвольное число λ;

4. Вычеркивание нулевой строки.

Матрица имеет ступенчатый вид, если в каждой ее строке стоит нулей больше, чем в предыдущей. При этом учитываются лишь нули, стоящие в начале строки до первого ненулевого числа.

Теорема 1. Любую матрицу можно с помощью конечного числа элементарных преобразований привести к ступенчатому виду.

Теорема 2. Ранг матрицы равен количеству ненулевых строк матрицы после приведения ее с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду.

Пример. Вычислить ранг матрицы

А= .

Решение. Применяя элементарные преобразования строк матрицы, будем обозначать: -1·(2)-умножить вторую строку на (-1); (2)-2(1)-вычтем из второй строки первую, умноженную на (2); (2) (5)-поменять строки вторую и пятую местами.