2015-04-01
543
Определение 1. Совокупность nдействительных чисел 
, 
,…, 
, заданных в определенном порядке, называется n-мерным вектором. Числа , ,…, называются координатами вектора.
Над n-мерными векторами вводятся следующие операции.
Сложение: если x=(, ,…, ), y= 
, 
,…, 
), то x+y=( + 
, + , …, + ).
Умножение на число: если 
- действительное число и x=(, ,…, )-вектор, то x=(
, 
, …, 
).
Определение 2. Два вектора называются равными, если равны их соответствующие координаты
(, ,…, ) = , ,…, ) 
= , = , …, = .
Среди n-мерных векторов есть вектор, нейтральный относительно операций сложения.
Этот вектор с нулевыми координатами. Его называют нулевым вектором и обозначают через 0:
0=(0,0,…,0).
Каждый вектор x имеет противоположный: его обозначают –x, причем
-x=(
, 
,…, 
).
Введенные операции сложения векторов и умножение вектора на число обладают восемью свойствами:
1. x+y=y+x
2. (x+y)+z=x+(y+z)
3. x+0=0
4. x+(-x)=0
5. λ(μx)=(λμ)x
6. λ(x+y)= λx+λy
7. (λ+μ)=λx+μx
8. 1·x=x.
Определение 3. Множество всех n-мерных векторов, для которых установлены операции сложения и умножения на число, называется n-мерным векторным (линейным) пространством 
|
|
|
Определение 4. Система n-мерных векторов { , ,…, } называется линейно зависимой, если найдутся числа 
, 
,…, 
, не равные одновременно нулю, такие, что 
+ 
+…+ 
=0.
В противном случае эта система называется линейно независимой.
Определение 5. Пусть Q- произвольное множество n-мерных векторов пространства . Система векторов B={ 
, 
,…, 
} называется базисом в Q, если выполняются следующие условия:
1. 
Q, k=1,2,…,s;
2. Система B={ , ,…, } линейно независима;
3. Для любого вектора 
Qнайдутся числа , ,…, , такие, что x= 
.
Определение 6. Формула называется разложением вектора xпо базису B=(, ,…, ). Коэффициенты , ,…, однозначно определяются вектором xи называются координатами этого вектора в базисе В.
Справедливы следующие утверждения:
1) Всякая система векторов Q 
имеет по меньшей мере один базис; при этом все базисы этой системы состоят из одинакового числа векторов, называемого рангом системы Q, и обозначаются r(Q).
2) Ранг всего пространства равен n и называется размерностью этого пространства; при этом в качестве базиса можно взять следующую систему:
Этот базис принято называть каноническим.
Зафиксируем произвольный базис B=(, , …, 
) в пространстве . Тогда всякому вектору x можно поставить взаимно однозначное соответствие столбец его координат в этом базисе, т.е.
X= 
+ 
+…+ 
= 
.
