Линейное (векторное) пространство

Определение 1. Совокупность nдействительных чисел , ,…, , заданных в определенном порядке, называется n-мерным вектором. Числа , ,…, называются координатами вектора.

Над n-мерными векторами вводятся следующие операции.

Сложение: если x=(, ,…, ), y= , ,…, ), то x+y=( + , + , …, + ).

Умножение на число: если - действительное число и x=(, ,…, )-вектор, то x=(, , …, ).

Определение 2. Два вектора называются равными, если равны их соответствующие координаты

(, ,…, ) = , ,…, ) = , = , …, = .

Среди n-мерных векторов есть вектор, нейтральный относительно операций сложения.

Этот вектор с нулевыми координатами. Его называют нулевым вектором и обозначают через 0:

0=(0,0,…,0).

Каждый вектор x имеет противоположный: его обозначают –x, причем

-x=(, ,…, ).

Введенные операции сложения векторов и умножение вектора на число обладают восемью свойствами:

1. x+y=y+x

2. (x+y)+z=x+(y+z)

3. x+0=0

4. x+(-x)=0

5. λ(μx)=(λμ)x

6. λ(x+y)= λx+λy

7. (λ+μ)=λx+μx

8. 1·x=x.

Определение 3. Множество всех n-мерных векторов, для которых установлены операции сложения и умножения на число, называется n-мерным векторным (линейным) пространством

Определение 4. Система n-мерных векторов { , ,…, } называется линейно зависимой, если найдутся числа , ,…, , не равные одновременно нулю, такие, что + +…+ =0.

В противном случае эта система называется линейно независимой.

Определение 5. Пусть Q- произвольное множество n-мерных векторов пространства . Система векторов B={ , ,…, } называется базисом в Q, если выполняются следующие условия:

1. Q, k=1,2,…,s;

2. Система B={ , ,…, } линейно независима;

3. Для любого вектора Qнайдутся числа , ,…, , такие, что x= .

Определение 6. Формула называется разложением вектора xпо базису B=(, ,…, ). Коэффициенты , ,…, однозначно определяются вектором xи называются координатами этого вектора в базисе В.

Справедливы следующие утверждения:

1) Всякая система векторов Q имеет по меньшей мере один базис; при этом все базисы этой системы состоят из одинакового числа векторов, называемого рангом системы Q, и обозначаются r(Q).

2) Ранг всего пространства равен n и называется размерностью этого пространства; при этом в качестве базиса можно взять следующую систему:

Этот базис принято называть каноническим.

Зафиксируем произвольный базис B=(, , …, ) в пространстве . Тогда всякому вектору x можно поставить взаимно однозначное соответствие столбец его координат в этом базисе, т.е.