Определение 7. Линейными операциями над векторами называются сложение векторов и умножение вектора на число.
Определение 8. Суммой двух векторов и называется вектор , который идет из начала вектора в конец вектора при условии, что вектор приложен к концу вектора (правило треугольника). В случае неколлинеарных векторов и можно вместо правила треугольника использовать правило параллелограмма: если векторы и отложены от общего начала и на них построен параллелограмм, то сумма есть вектор, совпадающий с диагональю этого параллелограмма, идущего из общего начала и .
Определение 9. Разностью двух векторов и называется вектор , который в сумме с вектором составляет вектор . Если два вектора и отложены от общего начала, то их разность есть вектор, исходящий из конца вектора («вычитаемого») к концу вектора («уменьшаемого»).
Определение 10. Два коллинеарных вектора равной длины, направленные в противоположные стороны, называются противоположными. Вектор, противоположный вектору , обозначается .
|
|
Произведение вектора на число обозначают α .
Некоторые свойства линейных операций
1) +()=( + )+ ;
2) = ;
3) + = ;
4) +()= ;
5) = ();
6)
7) ;
8) 1· = .
Теорема 1. (О коллинеарных векторах). Если и – два коллинеарных вектора, причем вектор -ненулевой, то существует единственное число х такое, что =х
В частности, ненулевой вектор и его орт связаны равенством: = · .
Сформулированные свойства линейных операций позволяют преобразовать выражения, составленные из векторов, по обычным правилам алгебры: можно раскрыть скобки, приводить подобные члены, переносить некоторые члены в другую часть равенства с противоположным знаком и т.д.