Условие коллинеарности двух векторов

Теорема 4. Вектор коллинеарен ненулевому вектору в том и только том случае, когда координаты вектора пропорциональны соответственным координатам вектора т.е.

.

Линейные операции над векторами, заданными своими координатами в пространстве, производятся аналогично.

Пример 1. Пусть даны векторы = {1;2;-1}, = {3;2;1}, = {1;0;1} в некотором векторном базисе , , . Найти координаты линейной комбинации 2 +3 -4 .

Решение. Введем обозначение для линейной комбинации =2 +3 +(-4) .

Коэффициенты линейной комбинации =2, =3, =-4. Запишем данное векторное равенство в координатной форме = {x,y,z}= :

=2

Очевидно, что каждая координата линейной комбинации векторов равна такой же линейной комбинации одноименных координат, т.е.

х = 2·1+3·3+(-4)·1=7,

у = 2·2+3·2+(-4)·0=10,

z = 2·(-1)+3·1+(-4)·0=-3.

Координаты вектора в базисе , , будут:

= {7,10,-3}

Ответ: = {7,10,-3}.