Симметрические операторы и их свойства

Определение. Линейный оператор называется симметрическим, если для любых векторов выполняется .

Перечислим основные свойства симметрического линейного оператора [1].

1. Линейный оператор является симметрическим тогда и только тогда, когда его матрица в любом базисе симметрична.

2. Собственные векторы симметрического линейного оператора, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.

4. Всякому собственному числу кратности k симметрического оператора соответствует линейно независимая система из k собственных векторов.

5. Для всякого симметрического линейного оператора существует базис в пространстве , состоящий из его собственных векторов.