Формулы различных степенных средних величин

Наименование средней	Формула средней
простая	взвешенная
Арифметическая
Гармоническая
Геометрическая	;
Квадратическая

Средняя арифметическая и средняя гармоническая наиболее распространенные виды средней, получившие широкое применения в плановых расчетах, при расчете общей средней из средних групповых, а также при выявлении взаимосвязи между признаками с помощью группировок. Выбор средней арифметической и средней гармонической определяется характером имеющейся в распоряжении исследователя информации.

Средняя квадратическая применяется для расчета среднего квадратического отклонения (σ), являющегося показателем вариации признаков, а также в технике (например, при сооружении трубопроводов).

Средняя геометрическая (простая) используется при вычислении среднего коэффициента роста (темпа) в рядах динамики, если промежутки времени, к которым относятся коэффициенты роста, одинаковы. Если средние коэффициенты роста относятся к периодам различной продолжительности, то общий средний коэффициент роста за весь период определяется по формуле средней геометрической взвешенной.

Среди структурных средних, характеризующих структуру совокупности, наиболее известны мода и медиана.

Мода и медиана в отличие от степенных средних, которые в значительной степени являются абстрактной характеристикой совокупности, выступают как конкретные величины, совпадающие с вполне определенными вариантами совокупности. Это делает их незаменимыми при решении ряда практических задач.

Медиана (Ме) – значение изучаемого признака, которое по своей величине занимает серединное место в ряду вариантов, расположенных в порядке их возрастания или убывания. Такой ряд называется ранжированным. Примером такого ряда может служить месячная заработная плата рабочих цеха.

Порядковый номер рабочего								Итого
Месячная заработная плата, руб

В этом ряду среднее место по размеру заработной платы занимает рабочий с номером 4, получивший 160 руб. эта величина и есть медиана. Меньше и больше медианы одинаковое число вариантов. Порядковый номер, которому соответствует медиана, определяется по формуле:

Если количество вариантов в ряду четное число, т.е., если бы в цехе был еще и восьмой рабочий с заработной платой 276 руб., то медиана находилась бы посередине между четвертым и пятым порядковыми номерами.

В таких случаях принято считать, что в промежутке между номерами идет равномерное нарастание или убывание вариантов. Поэтому за медиану принимают среднюю арифметическую из вариантов с номерами четыре и пять. В данном примере Ме = (х₄ +х₅) / 2 = (160+175) / 2 = 167,5 руб.

Смысл полученного результата такой: одна половина рабочих получила за месяц меньше, а другая – больше 167,5 руб. Медиана, следовательно, обобщающий показатель распределения совокупности, уровень признака, который делит совокупность на две равные части.

Приведенный пример вычисления медианы относится к случаю, когда расчет производится на основе индивидуальных значений признака. Обычно же в статистике приходится иметь дело со сгруппированными данными в форме дискретных и интервальных рядов. В таком случае медиана вычисляется по следующей формуле:

где х_е – нижняя граница медианного интервала; h – величина медианного интервала; ∑f –сумма частот или частостей ряда; S _{mе – 1} - сумма накопленных частот в интервалах, предшествующих медианному; f_m_е – частота медианного интервала.

Мода (Мо) – это вариант признака, который при данном сочетании причин разного порядка чаще всего встречается в вариационном ряду. Например, цена, по которой чаще всего реализуется данный товар на рынке, является модой или модальной ценой. Месячная заработная плата, которая чаще встречается в данном коллективе, является для него модальной заработной платой. Мода отвечает на вопрос о том, какое значение изучаемой переменной величины наиболее вероятно. То, что в статистике принято называть модой, считается в обычной жизни массовым, типичным, типическим.

В дискретных рядах мода легко определяется как вариант, которому соответствует максимальная частота. Определение моды в интервальных рядах требует расчета по формуле:

f_mo – f_mo_-1

Mo = x_mo + h ----------------------------------,

(f_mo – f_mo_-1) + (f_mo – f_mo₊₁)

где х_mo — нижняя граница модального интервала; h — величина модального интервала; f_mo — частота модального интервала; f_mo₊₁ — частота интервала, следующего за модальным; f_mo_-1 — частота интервала, предшествующего модальному.

В средней находит отражение то общее, что свойственно всем единицам совокупности. Но каждой единице свойственны и индивидуальные особенности, которые ведут к отклонениям от среднего уровня. Таковы, например, отклонения выработки отдельных рабочих от средней выработки по цеху, которые имеют место даже, если все рабочие производят одни и те же изделия из одного и того же сырья и на одних и тех же станках. Эти отклонения вызваны индивидуальными особенностями рабочих - опытом и знанием дела, состоянием здоровья и самочувствием, сообразительностью и инициативностью и т. п. Поэтому изучение отклонений от средней, их причины, масштабы, а также закономерности их распределения представляет большой практический и теоретический интерес. Эти задачи решаются в определенной мере при помощи показателей вариации.

К абсолютным показателям вариации относятся:

· размах вариации (колебаний);

· среднее линейное отклонение;

· среднее квадратическое отклонения;

· дисперсия.

Размахом вариации называют амплитуду колебаний, определяемую как разность между максимальным и минимальным значениями признака, положенного в основу ряда распределения. Если обозначить максимальное значение х_max, а минимальное — х_min, то размах вариации R равен:

R = x_max — x_min, где х — вариант признака. Этот показатель представляет интерес в тех случаях, когда важно знать, какова амплитуда колебания признака и в каких пределах он колеблется.

Среднее линейное отклонение () и среднее квадратическое отклонение (σ) показывают, на сколько в среднем отличаются индивидуальные значения признака от среднего его значения.

Среднее линейное отклонение определяется по формулам:

а) для несгруппированных данных

б) для вариационного ряда

Среднее квадратическое отклонение (σ) и дисперсия (σ²) определяются так:

а) для несгруппированных данных

б) для вариационного ряда

Формула для расчета дисперсии может быть преобразована:

т.е. дисперсия равна средней из квадратов индивидуальных значений признака минус квадрат средней величины.

При сравнении колеблемости различных признаков в одной и той же совокупности или же при сравнении колеблемости одного и того же признака в нескольких совокупностях с различной величиной средней арифметической используются относительные показатели вариации.

Наиболее часто применяется коэффициент вариации. Его применяют не только для сравнительной оценки вариации, но и для характеристики однородной совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33% (для распределений, близких к нормальному):

Кроме общей средней для всей совокупности исчисляются средние по отдельным группам (групповые или частные средние) и три показателя дисперсии:

· общая дисперсия;

· межгрупповая дисперсия;

· средняя внутригрупповая дисперсия.

Величина общей дисперсии () характеризует вариацию признака под влиянием всех факторов, формирующих уровень признака у единиц данной совокупности, и определяется по формуле:

где - общая средняя арифметическая для всей изучаемой совокупности.

Межгрупповая дисперсия (дисперсия групповых средних ) отражает систематическую вариацию, т.е. те различия в величине изучаемого признака, которые возникают под влиянием фактора, положенного в основу группировки. Межгрупповая дисперсия определяется по формуле:

где -средняя по отдельной группе;

- число единиц в определенной группе.

Средняя внутригрупповая дисперсия () характеризует случайную вариацию, возникающую под влиянием других, неучтенных факторов, и не зависит от условия (признака-фактора), положенного в основу группировки.

Средняя внутригрупповая дисперсия определяется по формуле:

где - дисперсия по отдельной группе:

Указанные дисперсии взаимосвязаны между собой следующим равенством: величина общей дисперсии равна сумме межгрупповой дисперсии и средней внутригрупповой дисперсии:

Это тождество отражает закон (правило) сложения дисперсий. Опираясь на это правило, можно определить, какая часть (доля) общей дисперсии складывается под влиянием признака-фактора, положенного в основу группировки.

Существует также вариация альтернативного признака. Альтернативный признак – качественный признак, имеющий две взаимоисключающие разновидности (например, работники предприятия подразделяются на мужчин и женщин; продукция-на годную и бракованную и т.д.).

Альтернативный признак принимает всего два значения:

1-наличие признака;

0-отсутствие признака.

p+q=1,

где р – доли единиц, обладающих признаком;

q –доли единиц, не обладающих признаком.

Среднее значение альтернативного признака