2015-04-30
896
Пусть область определения 
функции 
содержит окрестность точки 
, 
. Функция называется дифференцируемой в точке 
, если для любых 
из этой окрестности
(5.3),
где 
и 
.
Линейная часть 
приращения 
называется полным дифференциалом функции в точке 
.
График функции 
, определяемой равенством (5.4),называется касательной плоскостью к графику функции в точке .
(5.4)
Если дифференцируема в точке , то непрерывна в и дифференцируема по каждому из переменных 
. Однако если функция непрерывна и дифференцируема по каждому из переменных в точке , то она не обязательно дифференцируема в этой точке. Если же непрерывно дифференцируема в точке , то дифференцируема в точке .
Если дифференцируема в точке , то существует производная по направлению функции в относительно произвольного единичного вектора 
, которая вычисляется по следующей формуле:
(5.5),
где 
- угол между вектором и положительным направлением осей координат.
Если же дифференцируема по каждой из координат в точке , то вектор 
называется градиентом функции в точке и обозначается символом 
.
Если дифференцируема в точке , то в общем случае
(5.6),
где справа стоит скалярное произведение. Если при этом - вектор в касательной плоскости к поверхности уровня 
, то
(5.6*)
Свойства градиента:
1. Градиент функции перпендикулярен поверхности уровня .
2. Направление градиента есть направление наиболее быстрого роста функции (т.е. направление наибольшей производной по направлению).
