Предел последовательности. Основные определения и примеры.
Определение 22 (определение последовательности). Функция f:N® X, областью определения которой является множество натуральных чисел, называется последовательностью.
Если f:N® R, то последовательность называется числовой. Иначе, числовая последовательность – это функция натурального аргумента: xn = f(n). Обозначают числовую последовательность {xn}. Примеры числовых последовательностей:
Пример 16. 1) 1,2,..., n,...;
2) 1,-1,1,-1,...,(-1)n,...;
3) 1,1/2,1/3,...,1/n,....
Определение 23.
Последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если $ M (m), такое, что для любого nО N xnЈ M (xnі m).
Последовательность называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу, то есть $ c > 0 такое, что |xn| Ј c для любого nО N. Заметим, что в данном определении c=max{|m|,|M|}.
Пример 17.
1,2,...,n,... — ограничена снизу, но неограничена сверху;
{1/n} – ограничена, так как 0< xnЈ 1;
{(-1)n} – ограничена
Определение 24. Последовательность xn называется неограниченной, если
" c>0 $ N: |xN| > c
|
|
Неограниченная последовательность может быть односторонне ограниченной, то есть ограниченной или сверху, или снизу. Пример неограниченной сверху последовательности: xn = n.
Понятие предела числовой последовательности хорошо иллюстрируется на следующем примере. Пусть задана последовательность xn = 1/n. Изобразим ее члены точками на числовой оси (рис. 12).
Можно заметить, что члены последовательности с ростом номера n как угодно близко приближаются к 0. При этом величина xn становится все меньше и меньше. Очевидно, что пределом данной последовательности будет 0.
Дадим строгое определение предела числовой последовательности.
Определение 25 (определение предела последовательности). Число A называется пределом последовательности xn, если
" U(A) $ N: " n > N xn О U(A).
Приведем другое определение предела, которое является эквивалентным первому.
Определение 26 (определение предела последовательности). Число A называется пределом xn, если
" e > 0 $ N: " n > N |xn-A |< e
Заметим, что здесь использованы логические символы: квантор всеобщности " (вместо слова "для любого") и квантор существования $ (вместо слова "найдется").
Предел числовой последовательности обозначается limn®Ґ xn = A или xn® A при n® Ґ. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае расходящейся.
Пример 18. Пусть xn = 1/n, покажем, что
limn® Ґ1/n = 0.
Для этого запишем определение: " e>0 $ N: " n>N |xn|<e. То есть 1/n<e при n>N=[1/e].